线性规划与网络流24题之太空飞行计划 最大权闭合图

http://acm.nefu.edu.cn/JudgeOnline/problemshow.php?problem_id=476

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W教授正在为国家航天中心计划一系列的太空飞行。每次太空飞行可进行一系列商业性实验而获取利润。现已确定了一个可供选择的实验集合E={E1，E2，…，Em}，和进行这些实验需要使用的全部仪器的集合I={I1，I2，…In}。实验Ej需要用到的仪器是I的子集。配置仪器Ik的费用为ck美元。实验Ej的赞助商已同意为该实验结果支付pj美元。W教授的任务是找出一个有效算法，确定在一次太空飞行中要进行哪些实验并因此而配置哪些仪器才能使太空飞行的净收益最大。这里净收益是指进行实验所获得的全部收入与配置仪器的全部费用的差额。

input

多组数据输入. 每组输入第1行有2 个正整数m和n。m是实验数，n是仪器数。接下来的m 行，每行是一个实验的有关数据。第一个数赞助商同意支付该实验的费用；接下来是该实验需要的仪器数；接着是对应仪器的编号。最后一行的n个数是配置每个仪器的费用。

output

每组输出最佳实验方案的净收益

sample_input

2 3 10 2 1 2 25 2 2 3 5 6 7

sample_output

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分析（引用BYvoid 大牛的分析）：
最大权闭合图问题，可以转化成最小割问题，进而用最大流解决。
建模方法:
把每个实验看作二分图X 集合中的顶点，每个设备看作二分图Y 集合中的顶点，增加源S 和汇T。
1、从S 向每个Xi 连接一条容量为该点收入的有向边。
2、从Yi 向T 连接一条容量为该点支出的有向边。
3、如果一个实验i 需要设备j，连接一条从Xi 到Yj 容量为无穷大的有向边。
统计出所有实验的收入只和Total，求网络最大流Maxflow，最大收益就是Total-Maxflow。对应的解就是最小割划分出的
S 集合中的点，也就是最后一次增广找到阻塞流时能从S 访问到的顶点。
建模分析:
定义一个割划分出的S 集合为一个解，那么割集的容量之和就是(未被选的A 集合中的顶点的权值+ 被选的B 集合中的顶点
的权值)，记为Cut。A 集合中所有顶点的权值之和记为Total，那么Total - Cut 就是(被选的A 集合中的顶点的权值- 被选
的B 集合中的顶点的权值)，即为我们的目标函数，记为A。要想最大化目标函数A，就要尽可能使Cut 小，Total 是固定值，所
以目标函数A 取得最大值的时候，Cut 最小，即为最小割。
该问题的一般模型为最大权闭合图，相关讨论见《最小割模型在信息学竞赛中的应用》作者胡伯涛。

#include
#include
using namespace std;
const int oo=1e9;
/**oo 表示无穷大*/
const int mm=111111;
/**mm 表示边的最大数量，记住要是原图的两倍，在加边的时候都是双向的*/
const int mn=999;
/**mn 表示点的最大数量*/
int node,src,dest,edge;
/**node 表示节点数，src 表示源点，dest 表示汇点，edge 统计边数*/
int ver[mm],flow[mm],next[mm];
/**ver 边指向的节点，flow 边的容量，next 链表的下一条边*/
int head[mn],work[mn],dis[mn],q[mn];
/**head 节点的链表头，work 用于算法中的临时链表头，dis 计算距离*/

/**初始化链表及图的信息*/
void prepare(int _node,int _src,int _dest)
{
    node=_node,src=_src,dest=_dest;
    for(int i=0; i=0; i=next[i])
            if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]<0)
            {
                /**这条边必须有剩余容量*/
                dis[q[r++]=v]=dis[u]+1;
                if(v==dest)return 1;
            }
    return 0;
}
/**寻找可行流的增广路算法，按节点的距离来找，加快速度*/
int Dinic_dfs(int u,int exp)
{
    if(u==dest)return exp;
    /**work 是临时链表头，这里用i 引用它，这样寻找过的边不再寻找*/
    for(int &i=work[u],v,tmp; i>=0; i=next[i])
        if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]==dis[u]+1&&(tmp=Dinic_dfs(v,min(exp,flow[i])))>0)
        {
            flow[i]-=tmp;
            flow[i^1]+=tmp;
            /**正反向边容量改变*/
            return tmp;
        }
    return 0;
}
int Dinic_flow()
{
    int i,ret=0,delta;
    while(Dinic_bfs())
    {
        for(i=0; i

有关最大权闭合图：