关于NP完全问题的证明例题

关于NP完全问题的证明例题

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引

NP完全的定义：https://en.wikipedia.org/wiki/NP-completeness

与之相关的还有P问题，NP问题，NP难…

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例题

此例题摘自算法概论：

The k-SPANNING TREE problem is the following.
Input: An undirected graph G = (V,E)
Output: Aspanningtreeof G in which each node has degree≤ k, if such a tree exists.
Show that fo rany k ≥2:
(a) k-SPANNING TREE is a search problem.
(b) k-SPANNING TREE is NP-complete. (Hint: Start with k = 2 and consider the relation between this problem and RUDRATA PATH.)

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解答

• 验证任意解x是否为k-生成树，即确定G中的所有顶点是否都能在x中找到，x中是否有环，以及x中每个顶点的度数与k的比较，都能通过搜索算法在多项式时间内解决，因此是一个搜索问题。
• 假设k=2时，如果要找到一个生成树的节点度数都小于等于2，相当于是一条哈密顿路径。因此可以把哈密顿路径归约到k-生成树问题上。反之也成立。因为无向图的哈密顿路径是NP完全问题，所以k-生成树问题也是NP完全问题。