【HDU】5793 A Boring Question

A Boring Question

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题目链接

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题目大意

    要你求如下式子的值

∑0≤k1,k2...km≤n∏1≤j<m(kj+1kj)mod1000000007

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题解

    这个题只是看上去吓人而已…
    比赛的时候大部分都是找规律过的，后来看官方题解才茅塞顿开。
    首先可以分析出来：这个和要是不为0，序列k必须非减，所以我们考虑非减的情况就行了。
    接下来开始化简：

∵序列非减∴∑0≤k1,k2...km≤n∏1≤j<m(kj+1kj)=∑kmn∑km−1km...∑k1=0k2(k2k1)(k3k2)...(kmkm−1)

    注意到后面的积可以分别提到和式的前面。

∑kmn∑km−1km(kmkm−1)∑km−2km−1(km−1km−2)...∑k1=0k2(k2k1)

    这时，我们发现最里面的一项就是 2k2 ，所以有：

∑kmn∑km−1km(kmkm−1)∑km−2km−1(km−1km−2)...∑k2k3(k3k2)⋅2k2

    这时我们又发现此时的最后一项又可以由二项式展开来化简：

∑k2k3(k3k2)⋅2k2=(2+1)k3=3k3

    这样一直进行化简，最后可以得到：

∑kmn∑km−1km(kmkm−1)⋅(m−1)km−1=∑kmnmkm

    这样在最后就是一个等比数列求和了。
    最终结果：

ans=mn+1−1m−1

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代码

#include 
#include 
#include 
#define mod 1000000007
#define LL long long

using namespace std;

int T;
LL n,m;

LL pow_mod(LL a,LL b,LL c)
{
    LL ans=1;
    while (b)
    {
        if (b&1) ans=(ans*a)%c;
        b>>=1;
        a=(a*a)%c;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        LL ans=(pow_mod(m,n+1,mod)-1)*pow_mod(m-1,mod-2,mod);
        ans=(ans+mod)%mod;
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}