牛客 小a的子序列

题目链接
链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/317/F
来源：牛客网

题目描述
小a有一个长度为nn的序列，但是他忘了这个序列的样子，他只记得序列中的数大小在[1, V]内
你可以任意选择一些位置，并给它们赋值来组成一段子序列，需要满足序列中的数严格递增
一段子序列的“萌值”定义为序列中除最大数外所有数的乘积，若只有1个数则为1
他想请你求出所有合法子序列的“萌值”的和
不同子序列的定义为：存在某个值不同 或 在原序列中的位置不同
输出答案对10⁹ + 7取模
输入描述:
两个数n, V
输出描述:
一个整数表示答案
示例1
输入
2 2
输出
5
说明
若X表示不选该位置，那么合法的方案有
1 X = 1
X 1 = 1
1 2 = 1
X 2 = 1
2 X = 1
示例2
输入
3 4
输出
55

• 思路
  这里给出两种dp思路
  一：
  
  代码：

//#pragma GCC optimize(2)
#include
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
int n,v;
ll f[5005][5005],g[5005][5005];
int main(){
    cin>>n>>v;
    ll ans=v;
    for(int i=1;i<=v;i++){//初始化
        f[1][i]=1;
        g[1][i]=(g[1][i-1]+i)%mod;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=v;j++){
            f[i][j]=(1+g[i-1][j-1])%mod;//+1的原因是存在只有一个j在i处的情况
            g[i][j]=(mod+(g[i][j-1]+f[i][j]*j+g[i-1][j]-g[i-1][j-1])%mod)%mod;
            ans=(ans+f[i][j])%mod;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
}

二：
详见代码：

#include 
const int maxn = 5010;
int dp[maxn][maxn];  // dp[i][j]表示前i个位置最大数=j的序列的萌值和
const int mod = 1e9 + 7;
  
int main() {
    int n, v;
    while (~scanf("%d %d", &n, &v)) {
        for (int i = 1; i <= v; i++) dp[1][i] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            int sum = 1; // sum维护i-1位置最大值<=j-1的序列所有数乘积和
            for (int j = 1; j <= v; j++) {
                // dp[i][j] = 第i个位置为空(i-1位置的序列最大=j) + 第i个位置为j(i-1位置的序列最大值<=j-1,可算入乘积)
                dp[i][j] = (dp[i-1][j] + sum) % mod;
                sum = (sum + 1ll * dp[i-1][j] * j) % mod;
                //*j是因为dp[i-1][j]是萌值，没有乘最大值j
            }
        }
        long long ans = 0;
        for (int i = 1; i <= v; i++) ans += dp[n][i];
        printf("%lld\n", ans % mod);
    }
    return 0;
}