#NOIP模拟赛bzoj3449#大佬(期望好题)

其实我根本就不懂得期望是什么，准确地说应该是不太熟悉，但是现在大致也知道是怎么算的了。

说说这道题，出题人的正解很成功被我们某些大佬给卡掉了，原因是还有更好的解法，可以把时间复杂度降得更低，现在来看真正的正解。

假设现在我们有一种完整的N道题难度的排列，设现在这种排列为i，然后有w[i][j]来表示这种排列下，第j - k + 1天到第j天的劳累值。

对于方案i，完成总书的劳累值就是Σw[i][j]（k <= j <= n）

然后一共有M^N种排列， 即i∈[1, M^N]

那么列式如下：

上面的竖着一列求和就是在排列i下的总劳累值。

我们考虑每一行，在每种情况下，位置k的劳累值与前后的并不相关，只与它内部自己的值有关，也就是说在k这个位置上所有方案的劳累值总和能直接算出来

然后对于每一个区间大小为K的位置（即每一行求和），它们自己的劳累值总和其实是一样的。

只需要算出一行，然后乘N- K+ 1就可以了。

一行怎么算？

枚举最大劳累值j，于是这个长度为K的区间里要填至少一个j，其他的都要小于j，

于是此时有：(j ^ K - (j - 1) ^ K) * Wt[j]就是当前j的贡献，而这种贡献将出现M ^ (N - K)次（其他地方任意排列）。

对于总共的期望，一共有M ^ N种情况，而每种情况的贡献已经累和，可以选择最后来除，也可以算出每一种最大值就马上除（约分一下就是除M ^ K， 即乘逆元）

Code：

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

typedef long long LL;

const int Max = 400;
const int MOD = 1e9 + 7;

int N, M, K;
int Wt[Max + 5];

void getint(int & num){
    char c; int flg = 1;    num = 0;
    while((c = getchar()) < '0' || c > '9') if(c == '-')    flg = -1;
    while(c >= '0' && c <= '9'){    num = num * 10 + c - 48;    c= getchar(); }
    num *= flg;
}

int qmul(int p, int k){
    int rt = 1;
    while(k){
        if(k & 1)   rt = 1ll * rt * p % MOD;
        p = 1ll * p * p % MOD;
        k >>= 1;
    }
    return rt;
}

int main(){
    //freopen("kat.in", "r", stdin);
    //freopen("kat.out", "w", stdout);
    getint(N), getint(M), getint(K);
    //if(N < K){puts("0");    return 0;}
    for(int i = 1; i <= M; ++ i)    getint(Wt[i]);
    int Ans = 0ll;
    int deno = qmul(M, K);
    deno = qmul(deno, MOD - 2);
    for(int i = 1; i <= M; ++ i)
        Ans = (Ans + 1ll*Wt[i]*(qmul(i, K)-qmul(i - 1, K))%MOD*deno%MOD)%MOD;
    Ans = 1ll*Ans * (N - K + 1) % MOD;
    printf("%d\n", Ans);
    return 0;
}
/*
2 2 2
1 2

*/