矩阵快速幂 - 斐波那契前 n 项和 - AcWing 1303

矩阵快速幂 - 斐波那契前 n 项和 - AcWing 1303

$大家都知道Fibonacci数列吧，f_1=1,f_2=1,f_3=2,f_4=3,\dots ,f_n=f_{n-1}+f_{n-2}。$

$现在问题很简单，输入n和m，求f_n的前n项和S_{n}modm。$

输入格式

$共一行，包含两个整数n和m。$

输出格式

$输出前n项和S_{n}modm的值。$

数据范围

$1\le n\le 2000000000,1\le m\le 1000000010$

输入样例：

5 1000

输出样例：

12

---

分析：

$设F_n=[f_n{f}_{n+1}{S}_n]，$

$配凑3\times 3的矩阵A，使得F_{n}A=F_{n+1}。$

$即[f_n{f}_{n+1}{S}_n]\left|\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}\right|=[f_{n+1}{f}_{n+2}{S}_{n+1}]$

$f_{n+1}=0\times f_n+1\times f_{n+1}+0\times S_n$

$f_{n+2}=1\times f_n+1\times f_{n+1}+0\times S_n$

$S_{n+1}=0\times f_n+1\times f_{n+1}+1\times S_n$

$配凑出A=\left|\begin{array}{c}010\\ 110\\ 011\end{array}\right|。$

$则同过矩阵乘法：F_1{A}^{n-1}=F_n=[f_n{f}_{n+1}{S}_n]，计算得到F_n[2]=S_n。$

代码：

#include
#include

#define ll long long

using namespace std;

const int N=3;

int n,m;
ll f1[N][N]={{1,1,1}};
ll A[N][N]={
    {0,1,0},
    {1,1,1},
    {0,0,1}
};

void mul(ll a[][N],ll b[][N])
{
    ll c[N][N]={0};
    for(int i=0;i<3;i++)
        for(int j=0;j<3;j++)
            for(int k=0;k<3;k++)
                c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]%m)%m;
    memcpy(a,c,sizeof c);
}

void quick_pow(ll a[][N],int k)
{
    ll E[N][N]={    //单位阵
        {1,0,0},
        {0,1,0},
        {0,0,1}
    };
    while(k)
    {
        if(k&1) mul(E,a);
        mul(a,a);
        k>>=1;
    }
    memcpy(a,E,sizeof E);
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    
    quick_pow(A,n-1);
    mul(f1,A);
    
    cout<<f1[0][2]<<endl;
    
    return 0;
}