ch4 induction and Recursion

mathematical induction

定义

数学归纳法（Mathematical Induction、MI、ID）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。
虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。

Strong Induction

与之相对的就是weak induction 。weak induction只利用了P(1)和P(n)来证明 P(n + 1)，而Strong Induction 则前提条件成了 P(begin)~P(n)都成立，则证明出P(
n +1)
我们在最一开始肯定会想weak induction不是已经说明了P（begin）～P（n）之间都成立了吗，Strong Induction和weak Induction之间有什么区别呢，其实我看了一些博客目前认为Strong induction和weak induction之间的区别主要是Strong inducton在证明递归成立的时候不止利用了p（n）而且利用了之前的项，我们可以选择去用之前的哪一项而不必要都用上，所以strong induction并不是证明的比weak induction更正确，而是说strong induction比 weak induction证明起来更简单，或者说能够利用的条件更多，使得很多用weak induction难以证明的用strong induction证明起来更加简单
这里给出一个例题（取自国外大神的博客）

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