【python基础-23】递推和递归

递推与递归（Iteration vs Recursion）

递推（Iteration） 和 递归（Recursion） 是两种解决问题的方法，主要区别在于实现方式：

方式	定义	特点	适用场景
递推（Iteration）	通过循环计算下一个状态	占用内存少，运行效率高	适用于简单问题，如循环累加
递归（Recursion）	函数调用自身来求解问题	代码简洁，但占用较多内存（调用栈）	适用于分治算法、树形结构

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1. 递推（Iteration）

递推是利用循环，不断更新前面计算的值，从而得到最终结果。

（1）斐波那契数列（递推法）

斐波那契数列公式：
$$F(n)=F(n-1)+F(n-2),F(0)=0,F(1)=1$$
迭代（递推）求解：

def fibonacci_iter(n):
    if n == 0: return 0
    if n == 1: return 1
    
    a, b = 0, 1
    for _ in range(2, n + 1):
        a, b = b, a + b
    return b

print(fibonacci_iter(10))  # 输出: 55

✅ 优点：

• 占用内存少
• 运行效率高

❌ 缺点：

• 代码可读性较低，尤其对于复杂问题

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2. 递归（Recursion）

递归是函数调用自身来求解问题，通常包含：

1. 基准条件（终止条件）
2. 递归公式（不断调用自身）

（1）斐波那契数列（递归法）

def fibonacci_rec(n):
    if n == 0: return 0
    if n == 1: return 1
    return fibonacci_rec(n-1) + fibonacci_rec(n-2)

print(fibonacci_rec(10))  # 输出: 55

✅ 优点：

• 代码简洁
• 适用于分治问题（如二叉树遍历）

❌ 缺点：

• 函数调用栈占用内存，可能导致栈溢出
• 效率低，有大量重复计算

优化递归 - 记忆化存储

def fibonacci_memo(n, memo={}):
    if n in memo:
        return memo[n]
    if n <= 1:
        return n
    memo[n] = fibonacci_memo(n-1, memo) + fibonacci_memo(n-2, memo)
    return memo[n]

print(fibonacci_memo(10))  # 输出: 55

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3. 递归 vs 递推（对比总结）

比较项	递推（Iteration）	递归（Recursion）
实现方式	通过循环	通过函数调用自身
代码长度	代码较长	代码简洁
内存占用	低	高（调用栈）
运行效率	高	低（可能重复计算）
适用场景	线性问题，如遍历数组、累加	树形问题，如二叉树、汉诺塔

选择哪种方法？

• 简单问题（如累加、遍历）：递推
• 树形结构（如二叉树遍历）：递归
• 分治算法（如快排、归并排序）：递归
• 需要最优性能：递推

掌握递推与递归，能帮助你更高效地解决问题！