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单目标&多目标优化算法的测试函数与解

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In applied mathematics, test functions, known as artificial landscapes, are useful to evaluate characteristics of optimization algorithms, such as:

Velocity of convergence.
Precision.
Robustness.
General performance.

Here some test functions are presented with the aim of giving an idea about the different situations that optimization algorithms have to face when coping with these kinds of problems. In the first part, some objective functions for single-objective optimization cases are presented. In the second part, test functions with their respective Pareto fronts for multi-objective optimization problems (MOP) are given.

The artificial landscapes presented herein for single-objective optimization problems are taken from Bäck,[1] Haupt et. al.[2] and from Rody Oldenhuis software.[3] Given the amount of problems (55 in total), just a few are presented here. The complete list of test functions is found on the Mathworks website.[4]

The test functions used to evaluate the algorithms for MOP were taken from Deb,[5] Binh et. al.[6] and Binh.[7] You can download the software developed by Deb,[8]which implements the NSGA-II procedure with GAs, or the program posted on Internet,[9] which implements the NSGA-II procedure with ES.

Just a general form of the equation, a plot of the objective function, boundaries of the object variables and the coordinates of global minima are given herein.

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1 Test functions for single-objective optimization problems
2 Test functions for multi-objective optimization problems
3 See also
4 References

Test functions for single-objective optimization problems[edit]

Name	Formula	Minimum	Search domain
Ackley's function:	$f(x,y) = -20\exp\left(-0.2\sqrt{0.5\left(x^{2}+y^{2}\right)}\right)$ $-\exp\left(0.5\left(\cos\left(2\pi x\right)+\cos\left(2\pi y\right)\right)\right) + 20 + e$		$-5\le x,y \le 5$
Sphere function	$f(\boldsymbol{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}$	$f(x_{1}, \dots, x_{n}) = f(0, \dots, 0) = 0$	$-\infty \le x_{i} \le \infty$ , $1 \le i \le n$
Rosenbrock function	$f(\boldsymbol{x}) = \sum_{i=1}^{n-1} \left[ 100 \left(x_{i+1} - x_{i}^{2}\right)^{2} + \left(x_{i} - 1\right)^{2}\right]$	$\text{Min} =\begin{cases}n=2 & \rightarrow \quad f(1,1) = 0, \\n=3 & \rightarrow \quad f(1,1,1) = 0, \\n>3 & \rightarrow \quad f\left(\underbrace{1,\dots,1}_{(n) \text{ times}}\right) = 0 \\\end{cases}$	$-\infty \le x_{i} \le \infty$ , $1 \le i \le n$
Beale's function	$f(x,y) = \left( 1.5 - x + xy \right)^{2} + \left( 2.25 - x + xy^{2}\right)^{2}$ $+ \left(2.625 - x+ xy^{3}\right)^{2}$		$-4.5 \le x,y \le 4.5$
Goldstein–Price function:	$f(x,y) = \left(1+\left(x+y+1\right)^{2}\left(19-14x+3x^{2}-14y+6xy+3y^{2}\right)\right)$ $\left(30+\left(2x-3y\right)^{2}\left(18-32x+12x^{2}+48y-36xy+27y^{2}\right)\right)$		$-2 \le x,y \le 2$
Booth's function:	$f(x,y) = \left( x + 2y -7\right)^{2} + \left(2x +y - 5\right)^{2}$		$-10 \le x,y \le 10$
Bukin function N.6:	$f(x,y) = 100\sqrt{\left\|y - 0.01x^{2}\right\|} + 0.01 \left\|x+10 \right\|.\quad$		$-15\le x \le -5$ , $-3\le y \le 3$
Matyas function:	$f(x,y) = 0.26 \left( x^{2} + y^{2}\right) - 0.48 xy$		$-10\le x,y \le 10$
Lévi function N.13:	$f(x,y) = \sin^{2}\left(3\pi x\right)+\left(x-1\right)^{2}\left(1+\sin^{2}\left(3\pi y\right)\right)$ $+\left(y-1\right)^{2}\left(1+\sin^{2}\left(2\pi y\right)\right)$		$-10\le x,y \le 10$
Three-hump camel function:	$f(x,y) = 2x^{2} - 1.05x^{4} + \frac{x^{6}}{6} + xy + y^{2}$		$-5\le x,y \le 5$
Easom function:	$f(x,y) = -\cos \left(x\right)\cos \left(y\right) \exp\left(-\left(\left(x-\pi\right)^{2} + \left(y-\pi\right)^{2}\right)\right)$	$f(\pi , \pi) = -1$	$-100\le x,y \le 100$
Cross-in-tray function:	$f(x,y) = -0.0001 \left( \left\| \sin \left(x\right) \sin \left(y\right) \exp \left( \left\|100 - \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\pi} \right\|\right)\right\| + 1 \right)^{0.1}$	$\text{Min} =\begin{cases} f\left(1.34941, -1.34941\right) & = -2.06261 \\ f\left(1.34941, 1.34941\right) & = -2.06261 \\ f\left(-1.34941, 1.34941\right) & = -2.06261 \\ f\left(-1.34941,-1.34941\right) & = -2.06261 \\\end{cases}$	$-10\le x,y \le 10$
Eggholder function:	$f(x,y) = - \left(y+47\right) \sin \left(\sqrt{\left\|y + \frac{x}{2}+47\right\|}\right) - x \sin \left(\sqrt{\left\|x - \left(y + 47 \right)\right\|}\right)$		$-512\le x,y \le 512$
Hölder table function:	$f(x,y) = - \left\|\sin \left(x\right) \cos \left(y\right) \exp \left(\left\|1 - \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\pi} \right\|\right)\right\|$	$\text{Min} =\begin{cases} f\left(8.05502, 9.66459\right) & = -19.2085 \\ f\left(-8.05502, 9.66459\right) & = -19.2085 \\ f\left(8.05502,-9.66459\right) & = -19.2085 \\ f\left(-8.05502,-9.66459\right) & = -19.2085\end{cases}$	$-10\le x,y \le 10$
McCormick function:	$f(x,y) = \sin \left(x+y\right) + \left(x-y\right)^{2} - 1.5x + 2.5y + 1$		$-1.5\le x \le 4$ , $-3\le y \le 4$
Schaffer function N. 2:	$f(x,y) = 0.5 + \frac{\sin^{2}\left(x^{2} - y^{2}\right) - 0.5}{\left(1 + 0.001\left(x^{2} + y^{2}\right) \right)^{2}}$		$-100\le x,y \le 100$
Schaffer function N. 4:	$f(x,y) = 0.5 + \frac{\cos\left(\sin \left( \left\|x^{2} - y^{2}\right\|\right)\right) - 0.5}{\left(1 + 0.001\left(x^{2} + y^{2}\right) \right)^{2}}$		$-100\le x,y \le 100$
Styblinski–Tang function:	$f(\boldsymbol{x}) = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{4} - 16x_{i}^{2} + 5x_{i}}{2}$	$f\left(\underbrace{-2.903534, \ldots, -2.903534}_{(n) \text{ times}} \right) = -39.16599n$	$-5\le x_{i} \le 5$ , $1\le i \le n$ .
Simionescu function:[10]	, $\text{subjected to: } x^2+y^2\le\left(r_{T}+r_{S}\cos\left(n \arctan \frac{x}{y} \right)\right)^2$ $\text{where: } r_{T}=1, r_{S}=0.2 \text{ and } n = 8$	$f(\pm 0.84852813,\mp 0.84852813) = -0.78$	$-1.25\le x,y \le 1.25$

Test functions for multi-objective optimization problems[edit]

Name	Functions	Constraints	Search domain
Binh and Korn function:	$\text{Minimize} =\begin{cases} f_{1}\left(x,y\right) & = 4x^{2} + 4y^{2} \\ f_{2}\left(x,y\right) & = \left(x - 5\right)^{2} + \left(y - 5\right)^{2} \\\end{cases}$	$\text{s.t.} =\begin{cases} g_{1}\left(x,y\right) & = \left(x - 5\right)^{2} + y^{2} \leq 25 \\ g_{2}\left(x,y\right) & = \left(x - 8\right)^{2} + \left(y + 3\right)^{2} \geq 7.7 \\\end{cases}$	$0\le x \le 5$ , $0\le y \le 3$
Chakong and Haimes function:	$\text{Minimize} =\begin{cases} f_{1}\left(x,y\right) & = 2 + \left(x-2\right)^{2} + \left(y-1\right)^{2} \\ f_{2}\left(x,y\right) & = 9x + \left(y - 1\right)^{2} \\\end{cases}$	$\text{s.t.} =\begin{cases} g_{1}\left(x,y\right) & = x^{2} + y^{2} \leq 225 \\ g_{2}\left(x,y\right) & = x - 3y + 10 \leq 0 \\\end{cases}$	$-20\le x,y \le 20$
Fonseca and Fleming function:	$\text{Minimize} =\begin{cases} f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right) & = 1 - \exp \left(-\sum_{i=1}^{n} \left(x_{i} - \frac{1}{\sqrt{n}} \right)^{2} \right) \\ f_{2}\left(\boldsymbol{x}\right) & = 1 - \exp \left(-\sum_{i=1}^{n} \left(x_{i} + \frac{1}{\sqrt{n}} \right)^{2} \right) \\\end{cases}$		$-4\le x_{i} \le 4$ , $1\le i \le n$
Test function 4:[7]	$\text{Minimize} =\begin{cases} f_{1}\left(x,y\right) & = x^{2} - y \\ f_{2}\left(x,y\right) & = -0.5x - y - 1 \\\end{cases}$	$\text{s.t.} =\begin{cases} g_{1}\left(x,y\right) & = 6.5 - \frac{x}{6} - y \geq 0 \\ g_{2}\left(x,y\right) & = 7.5 - 0.5x - y \geq 0 \\ g_{3}\left(x,y\right) & = 30 - 5x - y \geq 0 \\\end{cases}$	$-7\le x,y \le 4$
Kursawe function:	$\text{Minimize} =\begin{cases} f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right) & = \sum_{i=1}^{2} \left[-10 \exp \left(-0.2 \sqrt{x_{i}^{2} + x_{i+1}^{2}} \right) \right] \\ & \\ f_{2}\left(\boldsymbol{x}\right) & = \sum_{i=1}^{3} \left[\left\|x_{i}\right\|^{0.8} + 5 \sin \left(x_{i}^{3} \right) \right] \\\end{cases}$		$-5\le x_{i} \le 5$ , $1\le i \le 3$ .
Schaffer function N. 1:	$\text{Minimize} =\begin{cases} f_{1}\left(x\right) & = x^{2} \\ f_{2}\left(x\right) & = \left(x-2\right)^{2} \\\end{cases}$		$-A\le x \le A$ . Values of form to $10^{5}$ have been used successfully. Higher values of increase the difficulty of the problem.
Schaffer function N. 2:	$\text{Minimize} =\begin{cases} f_{1}\left(x\right) & = \begin{cases} -x, & \text{if } x \le 1 \\ x-2, & \text{if } 1 < x \le 3 \\ 4-x, & \text{if } 3 < x \le 4 \\ x-4, & \text{if } x > 4 \\ \end{cases} \\ f_{2}\left(x\right) & = \left(x-5\right)^{2} \\\end{cases}$		$-5\le x \le 10$ .
Poloni's two objective function:	$\text{Minimize} =\begin{cases} f_{1}\left(x,y\right) & = \left[1 + \left(A_{1} - B_{1}\left(x,y\right) \right)^{2} + \left(A_{2} - B_{2}\left(x,y\right) \right)^{2} \right] \\ f_{2}\left(x,y\right) & = \left(x + 3\right)^{2} + \left(y + 1 \right)^{2} \\\end{cases}$ $\text{where} =\begin{cases} A_{1} & = 0.5 \sin \left(1\right) - 2 \cos \left(1\right) + \sin \left(2\right) - 1.5 \cos \left(2\right) \\ A_{2} & = 1.5 \sin \left(1\right) - \cos \left(1\right) + 2 \sin \left(2\right) - 0.5 \cos \left(2\right) \\ B_{1}\left(x,y\right) & = 0.5 \sin \left(x\right) - 2 \cos \left(x\right) + \sin \left(y\right) - 1.5 \cos \left(y\right) \\ B_{2}\left(x,y\right) & = 1.5 \sin \left(x\right) - \cos \left(x\right) + 2 \sin \left(y\right) - 0.5 \cos \left(y\right)\end{cases}$		$-\pi\le x,y \le \pi$
Zitzler–Deb–Thiele's function N. 1:	$\text{Minimize} =\begin{cases} f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right) & = x_{1} \\ f_{2}\left(\boldsymbol{x}\right) & = g\left(\boldsymbol{x}\right) h \left(f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right),g\left(\boldsymbol{x}\right)\right) \\ g\left(\boldsymbol{x}\right) & = 1 + \frac{9}{29} \sum_{i=2}^{30} x_{i} \\ h \left(f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right),g\left(\boldsymbol{x}\right)\right) & = 1 - \sqrt{\frac{f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right)}{g\left(\boldsymbol{x}\right)}} \\\end{cases}$		$0\le x_{i} \le 1$ , $1\le i \le 30$ .
Zitzler–Deb–Thiele's function N. 2:	$\text{Minimize} =\begin{cases} f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right) & = x_{1} \\ f_{2}\left(\boldsymbol{x}\right) & = g\left(\boldsymbol{x}\right) h \left(f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right),g\left(\boldsymbol{x}\right)\right) \\ g\left(\boldsymbol{x}\right) & = 1 + \frac{9}{29} \sum_{i=2}^{30} x_{i} \\ h \left(f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right),g\left(\boldsymbol{x}\right)\right) & = 1 - \left(\frac{f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right)}{g\left(\boldsymbol{x}\right)}\right)^{2} \\\end{cases}$		$0\le x_{i} \le 1$ , $1\le i \le 30$ .
Zitzler–Deb–Thiele's function N. 3:	$\text{Minimize} =\begin{cases} f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right) & = x_{1} \\ f_{2}\left(\boldsymbol{x}\right) & = g\left(\boldsymbol{x}\right) h \left(f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right),g\left(\boldsymbol{x}\right)\right) \\ g\left(\boldsymbol{x}\right) & = 1 + \frac{9}{29} \sum_{i=2}^{30} x_{i} \\ h \left(f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right),g\left(\boldsymbol{x}\right)\right) & = 1 - \sqrt{\frac{f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right)}{g\left(\boldsymbol{x} \right)}} - \left(\frac{f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right)}{g\left(\boldsymbol{x}\right)} \right) \sin \left(10 \pi f_{1} \left(\boldsymbol{x} \right) \right)\end{cases}$		$0\le x_{i} \le 1$ , $1\le i \le 30$ .
Zitzler–Deb–Thiele's function N. 4:	$\text{Minimize} =\begin{cases} f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right) & = x_{1} \\ f_{2}\left(\boldsymbol{x}\right) & = g\left(\boldsymbol{x}\right) h \left(f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right),g\left(\boldsymbol{x}\right)\right) \\ g\left(\boldsymbol{x}\right) & = 91 + \sum_{i=2}^{10} \left(x_{i}^{2} - 10 \cos \left(4 \pi x_{i}\right) \right) \\ h \left(f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right),g\left(\boldsymbol{x}\right)\right) & = 1 - \sqrt{\frac{f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right)}{g\left(\boldsymbol{x} \right)}}\end{cases}$		$0\le x_{1} \le 1$ , $-5\le x_{i} \le 5$ , $2\le i \le 10$
Zitzler–Deb–Thiele's function N. 6:	$\text{Minimize} =\begin{cases} f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right) & = 1 - \exp \left(-4x_{1}\right)\sin^{6}\left(6 \pi x_{1} \right) \\ f_{2}\left(\boldsymbol{x}\right) & = g\left(\boldsymbol{x}\right) h \left(f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right),g\left(\boldsymbol{x}\right)\right) \\ g\left(\boldsymbol{x}\right) & = 1 + 9 \left[\frac{\sum_{i=2}^{10} x_{i}}{9}\right]^{0.25} \\ h \left(f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right),g\left(\boldsymbol{x}\right)\right) & = 1 - \left(\frac{f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right)}{g\left(\boldsymbol{x} \right)}\right)^{2} \\\end{cases}$		$0\le x_{i} \le 1$ , $1\le i \le 10$ .
Viennet function:	$\text{Minimize} =\begin{cases} f_{1}\left(x,y\right) & = 0.5\left(x^{2} + y^{2}\right) + \sin\left(x^{2} + y^{2} \right) \\ f_{2}\left(x,y\right) & = \frac{\left(3x - 2y + 4\right)^{2}}{8} + \frac{\left(x - y + 1\right)^{2}}{27} + 15 \\ f_{3}\left(x,y\right) & = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} - 1.1 \exp \left(- \left(x^{2} + y^{2} \right) \right) \\\end{cases}$		$-3\le x,y \le 3$ .
Osyczka and Kundu function:	$\text{Minimize} =\begin{cases} f_{1}\left(\boldsymbol{x}\right) & = -25 \left(x_{1}-2\right)^{2} - \left(x_{2}-2\right)^{2} - \left(x_{3}-1\right)^{2}- \left(x_{4}-4\right)^{2} - \left(x_{5}-1\right)^{2} \\ f_{2}\left(\boldsymbol{x}\right) & = \sum_{i=1}^{6} x_{i}^{2} \\\end{cases}$	$\text{s.t.} =\begin{cases} g_{1}\left(\boldsymbol{x}\right) & = x_{1} + x_{2} - 2 \geq 0 \\ g_{2}\left(\boldsymbol{x}\right) & = 6 - x_{1} - x_{2} \geq 0 \\ g_{3}\left(\boldsymbol{x}\right) & = 2 - x_{2} + x_{1} \geq 0 \\ g_{4}\left(\boldsymbol{x}\right) & = 2 - x_{1} + 3x_{2} \geq 0 \\ g_{5}\left(\boldsymbol{x}\right) & = 4 - \left(x_{3}-3\right)^{2} - x_{4} \geq 0 \\ g_{6}\left(\boldsymbol{x}\right) & = \left(x_{5} - 3\right)^{2} + x_{6} - 4 \geq 0\end{cases}$	$0\le x_{1},x_{2},x_{6} \le 10$ , $1\le x_{3},x_{5} \le 5$ , $0\le x_{4} \le 6$ .
CTP1 function (2 variables):[5]	$\text{Minimize} =\begin{cases} f_{1}\left(x,y\right) & = x \\ f_{2}\left(x,y\right) & = \left(1 + y\right) \exp \left(-\frac{x}{1+y} \right)\end{cases}$	$\text{s.t.} =\begin{cases} g_{1}\left(x,y\right) & = \frac{f_{2}\left(x,y\right)}{0.858 \exp \left(-0.541 f_{1}\left(x,y\right)\right)} \geq 1 \\ g_{1}\left(x,y\right) & = \frac{f_{2}\left(x,y\right)}{0.728 \exp \left(-0.295 f_{1}\left(x,y\right)\right)} \geq 1\end{cases}$	$0\le x,y \le 1$ .
Constr-Ex problem:[5]	$\text{Minimize} =\begin{cases} f_{1}\left(x,y\right) & = x \\ f_{2}\left(x,y\right) & = \frac{1 + y}{x} \\\end{cases}$	$\text{s.t.} =\begin{cases} g_{1}\left(x,y\right) & = y + 9x \geq 6 \\ g_{1}\left(x,y\right) & = -y + 9x \geq 1 \\\end{cases}$	$0.1\le x \le 1$ , $0\le y \le 5$

References[edit]

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路径规划算法概论：从理论到实践 weixin_47233946 算法
##引言路径规划（PathPlanning）是机器人学、自动驾驶、物流优化、游戏开发等领域的核心技术，旨在为移动主体（如机器人、车辆）找到从起点到目标点的最优或可行路径。随着人工智能和计算能力的提升，路径规划算法在动态环境处理、多目标优化和实时响应方面持续演进。本文将系统梳理路径规划算法的核心分类、基本原理及应用案例。---##一、路径规划算法的核心分类###1.1传统图搜索算法**核心思想**：
AI赋能智能制造程序猿学长人工智能
AI赋能智能制造是当前工业转型升级的核心驱动力之一，通过人工智能技术与传统制造流程的深度融合，推动生产模式向智能化、柔性化、高效化方向发展。以下是AI在智能制造中的关键应用与价值分析：一、AI驱动智能制造的核心场景智能设计与仿真优化生成式设计：基于AI算法（如GAN、强化学习）自动生成产品设计方案，满足性能、材料、成本等多目标优化。数字孪生：通过AI构建虚拟工厂模型，实时模拟生产过程，预测设备故障
[智能算法]蚁群算法原理与TSP问题示例七刀智能算法算法
目录编辑一、生物行为启发的智能优化算法1.1自然界的群体智能现象1.2人工蚁群算法核心思想二、算法在组合优化中的应用演进2.1经典TSP问题建模2.2算法流程优化三、TSP问题实战：Python实现与可视化3.1算法核心类设计3.2参数敏感性实验3.3可视化分析四、关键参数调优指南4.1基准参数范围4.2动态调参策略4.3性能优化技巧五、扩展应用与前沿方向5.1多目标优化问题5.2深度强化学习融合
基于天牛须（BAS）与NSGA-Ⅱ混合算法的交直流混合微电网多场景多目标优化调度天天酷科研多目标优化算法（MOB）算法多目标优化调度
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材料力学优化算法：多目标优化在材料失效分析中的应用_2024-08-08_07-50-18.Tex chenjj4003 材料力学算法 java 前端人工智能矩阵线性代数 javascript
材料力学优化算法：多目标优化在材料失效分析中的应用材料力学优化算法：多目标优化在材料失效分析中的应用简介多目标优化的基本概念多目标优化(Multi-ObjectiveOptimization,MOO)是一种处理具有多个相互冲突目标的优化问题的方法。在传统的单目标优化中，我们通常寻找一个单一的最优解，而在多目标优化中，由于目标之间的冲突，我们寻找的是一组解，这些解在所有目标上都是最优的，这组解被称为
MATLAB算法实战应用案例精讲-【元启发式算法】随机蛙跳跃算法（SFLA）(附matlab代码实现) 林聪木启发式算法算法
目录前言知识储备多目标优化问题多目标元启发式优化方法算法原理数学模型算法参数更新策略算法思想算法步骤全局搜索过程局部搜索过程算法停止条件算法流程图伪代码优缺点算法拓展一种用于多目标组合优化的三阶段混合蛙跳框架多目标背包问题三阶段多目标混合蛙跳框架基于多目标背包问题的改进策略实验结果与分析基于三阶段多目标混合蛙跳算法的移动群智感知变速多任务调度移动群智感知的变速多任务调度模型求解移动群智感知变速多任
NSGA-II与蚁群算法结合的目标规划实现芦苇毛
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HV指标——多目标进化算法性能评价指标小可的科研日常算法
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Matlab 遗传算法的库 gads zhangfeng1133 数据分析算法
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材料力学优化算法：遗传规划(GP)：多目标优化与遗传规划_2024-08-08_02-48-19.Tex chenjj4003 材料力学算法网络 linux python 人工智能
材料力学优化算法：遗传规划(GP)：多目标优化与遗传规划绪论遗传规划(GP)简介遗传规划（GeneticProgramming,GP）是一种基于自然选择和遗传学原理的搜索算法，用于自动发现计算机程序、数学公式、策略或任何可表示为树结构的解决方案。它由JohnKoza在1990年代初提出，作为遗传算法（GeneticAlgorithm,GA）的扩展，特别适用于解决复杂的问题，如函数优化、机器学习、信
【无人机3D路径规划】基于非支配排序遗传算法NSGAII的无人机3D路径规划研究（Matlab代码实现） @橘柑橙柠桔柚无人机 matlab 开发语言
欢迎来到本博客❤️❤️博主优势：博客内容尽量做到思维缜密，逻辑清晰，为了方便读者。⛳️座右铭：行百里者，半于九十。本文目录如下：目录1概述一、引言二、NSGAII算法原理三、无人机3D路径规划问题建模四、基于NSGAII的无人机3D路径规划算法实现五、实验结果与分析六、结论与展望2运行结果3参考文献4Matlab代码实现1概述非支配排序遗传算法（NSGA）是一种多目标优化算法，旨在解决具有多个目标
【人工智能的数学基础】寻找多目标优化问题的帕累托最优解 AI天才研究院自然语言处理人工智能语言模型 python 开发语言
文章目录1.建模多目标优化问题2.求解多目标优化问题⚪无约束的梯度下降⚪带约束的梯度下降3.优化求解过程⚪梯度内积⚪共享编码4.主次型多目标优化⚪主次型多目标优化的应用寻找多目标优化问题的帕累托最优解.paper：Multi-TaskLearningasMulti-ObjectiveOptimization多目标优化是指同时优化多个相关任务的目标，多任务学习是一个典型的多目标优化问题，其总目标函数
【算法】第二代遗传算法NSGA-II优化SVR超参数模型傻傻虎虎机器学习算法 python NSGA-II SVR GA 遗传算法回归模型
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深度强化学习（DRL）框架与多目标调度优化详解大霸王龙 python 深度学习多目标优化深度强化学习
深度强化学习（DRL）框架与多目标调度优化详解（截至2025年4月，结合最新研究进展）一、DRL主流框架及核心算法通用DRL框架RayRLlib：支持分布式训练，集成PPO、A3C、DQN等算法，适用于大规模多目标调度场景（如云资源分配）。StableBaselines3：基于PyTorch，提供模块化接口，支持自定义奖励函数和状态空间，适合动态多目标优化问题（如柔性车间调度）。TensorFor
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NSGA-II(非支配排序遗传算法II)详解与实现1.算法简介NSGA-II(Non-dominatedSortingGeneticAlgorithmII)是一种高效的多目标优化算法，由Deb等人在2002年提出。它主要解决多个目标之间相互冲突的优化问题。1.1核心特点快速非支配排序时间复杂度：O(MN²)M为目标数量，N为种群大小比NSGA的O(MN³)更高效拥挤度距离保持种群多样性不需要用户定
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COMAP2025B题：可持续旅游管理模型深度解答一、问题背景与核心挑战背景：阿拉斯加朱诺市因冰川景观吸引大量游客（2023年160万邮轮游客），但过度旅游导致冰川退缩（2007年以来退缩8个足球场长度），并引发居民不满（住房压力、噪音污染）。需平衡经济收益（年收入3.75亿美元）、环境保护（冰川保护）与社会公平（居民满意度）。核心挑战：多目标优化：最大化经济收益vs最小化碳排放vs提升居民满意度
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Pytorch深度学习框架60天进阶学习计划-第34天：自动化模型调优今天，我们将深入研究一个让许多数据科学家和机器学习工程师头疼的问题：如何高效地调整模型超参数。我喜欢把超参数调优比作烹饪，你有最好的食材（数据）和厨具（模型架构），但如果调料（超参数）不对，再好的厨师也做不出美味的菜肴！我们将学习如何使用Optuna这个强大的工具进行自动化超参数优化，实践多目标优化策略，并对比贝叶斯优化与网格搜
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近年来，生成式人工智能（如大语言模型）在材料科学领域掀起革命性浪潮，其核心能力（从海量数据中挖掘构效关系、实现分子逆向设计）正在颠覆传统材料研发模式。以聚合物为例，传统依赖实验试错或量子计算的设计方法面临周期长、成本高、多目标优化困难等瓶颈，而生成式AI通过“数据驱动+智能生成”范式，可快速预测材料性能、生成新型分子结构，加速从实验室到产业化的进程。据《Nature》子刊统计，2020年以来基于生
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原题链接：#66 Plus One 要求：给定一个用数字数组表示的非负整数，如num1 = {1, 2, 3, 9}, num2 = {9, 9}等，给这个数加上1。注意： 1. 数字的较高位存在数组的头上，即num1表示数字1239 2. 每一位（数组中的每个元素）的取值范围为0~9 难度：简单分析：题目比较简单，只须从数组
JQuery中$.ajax()方法参数详解 AILIKES JavaScript jsonp jquery Ajax json
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JConsole & JVisualVM远程监视Webphere服务器JVM Kai_Ge JVisualVM JConsole Webphere
JConsole是JDK里自带的一个工具，可以监测Java程序运行时所有对象的申请、释放等动作，将内存管理的所有信息进行统计、分析、可视化。我们可以根据这些信息判断程序是否有内存泄漏问题。　　使用JConsole工具来分析WAS的JVM问题，需要进行相关的配置。　　首先我们看WAS服务器端的配置. 　　1、登录was控制台https://10.4.119.18
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Java annotation 自定义注释@interface的用法一、什么是注释说起注释，得先提一提什么是元数据(metadata)。所谓元数据就是数据的数据。也就是说，元数据是描述数据的。就象数据表中的字段一样，每个字段描述了这个字段下的数据的含义。而J2SE5.0中提供的注释就是java源代码的元数据，也就是说注释是描述java源
CentOS 5/6.X 使用 EPEL YUM源 2002wmj centos
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--缺失的索引 SELECT avg_total_user_cost * avg_user_impact * ( user_scans + user_seeks ) AS PossibleImprovement , last_user_seek ,
Spring3 MVC 笔记（二） —json+rest优化 7454103 Spring3 MVC
接上次的 spring mvc 注解的一些详细信息！其实也是一些个人的学习笔记呵呵！
替换“\”的时候报错Unexpected internal error near index 1 \ ^ adminjun java “\替换”
发现还是有些东西没有刻子脑子里,,过段时间就没什么概念了,所以贴出来...以免再忘... 在拆分字符串时遇到通过 \ 来拆分，可是用所以想通过转义 \\ 来拆分的时候会报异常 public class Main { /*
POJ 1035 Spell checker(哈希表) aijuans 暴力求解--哈希表
/* 题意：输入字典，然后输入单词，判断字典中是否出现过该单词，或者是否进行删除、添加、替换操作，如果是，则输出对应的字典中的单词要求按照输入时候的排名输出题解：建立两个哈希表。一个存储字典和输入字典中单词的排名，一个进行最后输出的判重 */ #include <iostream> //#define using namespace std; const int HASH =
通过原型实现javascript Array的去重、最大值和最小值 ayaoxinchao JavaScript array prototype
用原型函数（prototype）可以定义一些很方便的自定义函数，实现各种自定义功能。本次主要是实现了Array的去重、获取最大值和最小值。实现代码如下： <script type="text/javascript"> Array.prototype.unique = function() { var a = {}; var le
UIWebView实现https双向认证请求 bewithme UIWebView https Objective-C
什么是HTTPS双向认证我已在先前的博文 ASIHTTPRequest实现https双向认证请求中有讲述，不理解的读者可以先复习一下。本文是用UIWebView来实现对需要客户端证书验证的服务请求，网上有些文章中有涉及到此内容，但都只言片语，没有讲完全，更没有完整的代码，让人困扰不已。但是此知
NoSQL数据库之Redis数据库管理(Redis高级应用之事务处理、持久化操作、pub_sub、虚拟内存) bijian1013 redis 数据库 NoSQL
3.事务处理 Redis对事务的支持目前不比较简单。Redis只能保证一个client发起的事务中的命令可以连续的执行，而中间不会插入其他client的命令。当一个client在一个连接中发出multi命令时，这个连接会进入一个事务上下文，该连接后续的命令不会立即执行，而是先放到一个队列中，当执行exec命令时，redis会顺序的执行队列中
各数据库分页sql备忘 bingyingao oracle sql 分页
ORACLE 下面这个效率很低 SELECT * FROM ( SELECT A.*, ROWNUM RN FROM (SELECT * FROM IPAY_RCD_FS_RETURN order by id desc) A ) WHERE RN <20; 下面这个效率很高 SELECT A.*, ROWNUM RN FROM (SELECT * FROM IPAY_RCD_
【Scala七】Scala核心一：函数 bit1129 scala
1. 如果函数体只有一行代码，则可以不用写{},比如 def print(x: Int) = println(x) 一行上的多条语句用分号隔开，则只有第一句属于方法体，例如 def printWithValue(x: Int) : String= println(x); "ABC" 上面的代码报错，因为，printWithValue的方法
了解GHC的factorial编译过程 bookjovi haskell
GHC相对其他主流语言的编译器或解释器还是比较复杂的，一部分原因是haskell本身的设计就不易于实现compiler，如lazy特性，static typed，类型推导等。关于GHC的内部实现有篇文章说的挺好，这里，文中在RTS一节中详细说了haskell的concurrent实现，里面提到了green thread，如果熟悉Go语言的话就会发现，ghc的concurrent实现和Go有点类
Java-Collections Framework学习与总结-LinkedHashMap BrokenDreams LinkedHashMap
前面总结了java.util.HashMap，了解了其内部由散列表实现，每个桶内是一个单向链表。那有没有双向链表的实现呢？双向链表的实现会具备什么特性呢？来看一下HashMap的一个子类——java.util.LinkedHashMap。
读《研磨设计模式》-代码笔记-抽象工厂模式-Abstract Factory bylijinnan abstract
声明：本文只为方便我个人查阅和理解，详细的分析以及源代码请移步原作者的博客http://chjavach.iteye.com/ package design.pattern; /* * Abstract Factory Pattern * 抽象工厂模式的目的是： * 通过在抽象工厂里面定义一组产品接口，方便地切换“产品簇” * 这些接口是相关或者相依赖的
压暗面部高光 cherishLC PS
方法一、压暗高光&重新着色当皮肤很油又使用闪光灯时，很容易在面部形成高光区域。下面讲一下我今天处理高光区域的心得：皮肤可以分为纹理和色彩两个属性。其中纹理主要由亮度通道（Lab模式的L通道）决定，色彩则由a、b通道确定。处理思路为在保持高光区域纹理的情况下，对高光区域着色。具体步骤为：降低高光区域的整体的亮度，再进行着色。如果想简化步骤，可以只进行着色（参看下面的步骤1
Java VisualVM监控远程JVM crabdave visualvm
Java VisualVM监控远程JVM JDK1.6开始自带的VisualVM就是不错的监控工具. 这个工具就在JAVA_HOME\bin\目录下的jvisualvm.exe, 双击这个文件就能看到界面通过JMX连接远程机器, 需要经过下面的配置: 1. 修改远程机器JDK配置文件 (我这里远程机器是linux).
Saiku去掉登录模块 daizj saiku 登录 olap BI
1、修改applicationContext-saiku-webapp.xml <security:intercept-url pattern="/rest/**" access="IS_AUTHENTICATED_ANONYMOUSLY" /> <security:intercept-url pattern=&qu
浅析 Flex中的Focus dsjt html Flex Flash
关键字：focus、 setFocus、 IFocusManager、KeyboardEvent 焦点、设置焦点、获得焦点、键盘事件一、无焦点的困扰——组件监听不到键盘事件原因：只有获得焦点的组件（确切说是InteractiveObject）才能监听到键盘事件的目标阶段；键盘事件（flash.events.KeyboardEvent）参与冒泡阶段，所以焦点组件的父项（以及它爸
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单目标&多目标优化算法的测试函数与解

Contents

Test functions for single-objective optimization problems[edit]

Test functions for multi-objective optimization problems[edit]

See also[edit]

References[edit]

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