【数学建模】熵权法

熵权法介绍

熵权法是一种常用的用于多指标决策问题中的权重确定方法，它通过对决策矩阵的熵值进行计算，来自动地评估各个指标的权重。熵值能够反映各个指标的不确定性，熵值越小，表明该指标的信息量越大，反之亦然。熵权法可以避免人为设定权重的问题，通过熵权法确定的权重是一个客观量，只和数据本身的性质有关。熵权法在多目标优化问题中具有广泛的应用。

1. 熵权法的基本原理

熵权法的核心思想是通过信息熵来确定每个指标的权重。信息熵越大，表示该指标的信息越不确定，其权重应该越小；信息熵越小，表示该指标的信息更加确定，其权重应该越大。
假设有 $m$ 个决策单元，$n$ 个评价指标，构成一个决策矩阵 $X=(x_{ij})$，其中 $x_{ij}$ 表示第 $i$ 个决策单元在第 $j$ 个指标上的值。

2. 熵权法步骤

熵权法的计算过程通常包括以下几个步骤：

步骤 1：标准化决策矩阵

首先，需要对决策矩阵进行标准化处理。为了去除不同指标的量纲影响，通常使用以下标准化公式：
$$x_{ij}^{\prime }=\frac{x_{ij}-\min (x_j)}{\max (x_j)-\min (x_j)}\forall i=1,2,\dots ,m;j=1,2,\dots ,n$$
其中 $x_{ij}^{\prime }$ 为标准化后的数据，$\min (x_j)$ 和 $\max (x_j)$ 分别是第 $j$ 个指标的最小值和最大值。

步骤 2：计算每个指标的比例值

对于标准化后的矩阵 $X^{\prime }=(x^{\prime }ij)$，计算每个元素 $x^{\prime }ij$ 在其列中的比例值：
$$p_{ij}=\frac{x_{ij}^{\prime }}{{\sum }_{i=1}^m{x}_{ij}^{\prime }}\forall j=1,2,\dots ,n$$
其中，$p_{ij}$ 表示第 $i$ 个决策单元在第 $j$ 个指标下的比例值。

步骤 3：计算信息熵

对于每一个指标 $j$，根据比例值 $pij$ 计算其信息熵 $Hj$。信息熵公式如下：
$$Hj=-k\sum _{i=1}^m{p}_{ij}\ln (p_{ij})\forall j=1,2,\dots ,n$$
其中，$k$ 为一个常数，通常取 $k=\frac{1}{\ln (m)}$，以确保熵值在 $[0,1]$ 之间。

步骤 4：计算指标的权重

最后，根据每个指标的信息熵 $H_j$ 计算该指标的权重。权重公式为：
$$w_j=\frac{1-H_j}{{\sum }_{j=1}^n(1-H_j)}\forall j=1,2,\dots ,n$$
其中，$w_j$ 为第 $j$ 个指标的权重。
信息熵越大，说明数据差异越明显（数据中蕴含的信息越多），相应的通过熵权法计算得到的权重也越大。

3. 熵权法的优缺点

优点：

1. 客观性：熵权法通过数据计算权重，避免了人为设定权重的主观性。
2. 不依赖于专家经验：相比于层次分析法（AHP）等方法，熵权法不依赖于专家的判断，适用于大量数据的处理。
3. 计算简单：熵权法的计算步骤清晰，适用于不同的决策问题。

缺点：

1. 对数据敏感：熵权法依赖于数据的分布，如果数据的差异性较小，可能导致熵值计算的不准确。
2. 无法考虑决策者偏好：熵权法完全基于数据进行权重计算，不能考虑决策者的实际偏好或经验。

4. 应用场景

熵权法广泛应用于以下几个领域：

1. 多目标决策问题：在多个目标之间进行权衡时，熵权法能够帮助确定每个目标的权重。
2. 综合评价问题：在企业绩效评估、环境质量评估等综合评价场景中，熵权法能够为每个评价指标分配合理的权重。
3. 投资组合优化：在金融投资中，可以利用熵权法确定各个资产的权重，优化投资组合。

5. 结论

熵权法作为一种客观的权重确定方法，能够有效避免人为偏差，广泛应用于多指标决策问题中。通过对熵值的计算，它能够自动地评估各个指标的重要性，尤其适用于数据较为丰富、且缺乏专家经验的场景。