（CV，Math）射影几何

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计算机视觉中常涉及欧式几何（Euclidean Geometry）、仿射几何（Affine Geometry）、射影几何（Projective Geometry）、微分几何（ Differential Geometry）。

1 射影空间

对 n 维欧式空间加入无穷远元素，并对有限元素和无穷远元素不加区分，则他们共同构成 n 维射影空间。

• 一维射影空间是一条射影直线，由欧氏直线和它的无穷远点构成
  

• 二维射影空间是一个射影平面，由欧氏平面和它的无穷远直线构成
  

• 三维射影空间由我们所在的空间和无穷远平面构成
  

2 齐次坐标系

2.1 为什么需要齐次坐标

在欧氏空间中建立坐标系后，便有了点与坐标间的一一对应。但当引入无穷点以后，无穷远点无坐标，为了刻化无穷远点的坐标，我们引入齐次坐标。

2.2 定义

• 用 n+1 维向量表示 n 维向量。
• 设 n 维空间的非齐次坐标为 (x′1,…,x′n) ，即为 n 维欧式空间坐标
• 则 n 维空间的齐次坐标为 (x1,…,xn,x0) ，其中 x0 称为哑坐标
• x0=0 时，表示的点为无穷远点

2.3 转换关系

x0≠0 时， x′1⋅x0=x1,…,x′n⋅x0=xn

2.4 直线与平面的表示

• 二维空间的直线
  非齐次坐标： ax1+bx2+c=0
  齐次坐标： ax1+bx2+cx0=0
  无穷远直线方程： x0=0
• 三维空间的平面
  非齐次坐标： ax1+bx2+cx3+d=0
  齐次坐标： ax1+bx2+cx3+dx0=0
  无穷远平面方程： x0=0

2.5 注意

1. x0 的取值是不唯一的，所以一个点的齐次坐标是不唯一的。即非齐次坐标与其次坐标是“一对多”的关系
2. 当 x0=1 时齐次坐标为规格化齐次坐标

3 射影不变量

射影不变量包括交比、线束交比、简比。

3.1 交比（cross ratio）

• 定义共线四点 A,B,C,D 交比如下：
  

  (A,B;C,D)=ACBC:ADBD=AC⋅BDBC⋅AD

• 射影变换下交比不变，则

AC⋅BDBC⋅AD=A′C′⋅B′D′B′C′⋅A′D′

• 交比还可以通过定义仿射坐标系，通过代数的方式来定义，此处略

3.2 线束交比

• 3.1的交比针对点列，点列与线束的概念如图可以反应：
  

• 线束交比由射影平面偶像性质得来。即“点”与“直线”为对偶元素，“过一点作一条直线”与“在一条直线上取一点”为对偶作图

• 共线的四个点有交比，根据对偶，共点的四条线也有交比。且有对应的四点与四线的交比相等，如图等式。
  

3.3 简比

简比已在（CV，Math）仿射几何中介绍了。

3.4 三者关系

• 简比 SR(A,B;C)=ACBC
• 交比 CR(A,B;C,D)=SR(A,B;C)SR(A,B;D)=ACBC:ADBD
• 线束交比 CR(l1,l2;l3,l4)=sin(l1,l3)sin(l2,l3):sin(l1,l4)sin(l2,l4)

4 射影变换

4.1 定义

记 Sn,S′n 是两个由点组成的射影空间。 T 是由 Sn 到 S′n 的映射。 如果 T 保持:

1. 点和直线的结合关系。即共线三点仍然共线。
2. 共线的四个点的交比不变。

则 T 被叫作 n 维射影变换。 Sn 与 S′n 也可以是同一空间。
此外，有定理：

保持点列的交比不变是射影变换的充分必要条件

4.2 矩阵表达

n 维射影空间可用如下等式表达射影变换：

ρy=Mx

其中 ρ 为标量比例因子， x,y 为变换前与变换后齐次坐标。射影变换用 (n+1)×(n+1) 维矩阵 M 表示，如下：

ρ⎛⎝⎜⎜⎜⎜y1⋮yny0⎞⎠⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜m11⋮m(n+1)1⋯⋱⋯m1(n+1)⋮m(n+1)(n+1)⎞⎠⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜x1⋮xnx0⎞⎠⎟⎟⎟⎟

若 M 的行列式非零，则 M 为非退化的射影变换，否则为退化的射影变换。

4.3 其他问题

1. 由射影变换可由矩阵表示看知，齐次坐标下，射影变换是线性的。但非齐次坐标下，射影变换是非线性。
2. 射影变换由矩阵 M 确定， M 共有参数 (n+1)2 个。但 M 与 kM 表示同一变换(因等式两边都是齐次坐标表示不唯一)，故 M 的独立参数为 (n+1)2−1

4 射影、仿射、欧式空间关系

4.1 仿射变换与射影变换

• 仿射变换为射影变换特例，此时假设中心投影射线平行。仿射变换矩阵与射影变换矩阵也反应了这个问题，以二维空间为例，仿射变换与射影变换的矩阵的一般形式分别为

⎛⎝⎜m11m210m12m220m13m23m33⎞⎠⎟及⎛⎝⎜m11m21m31m12m22m32m13m23m33⎞⎠⎟

• 在射影几何中已证明，如果射影变换使无穷远点仍变换为无穷远点，则变换为仿射变换，以二维变换为例，若 x 为无穷远点，则坐标为 (x1,x2,0) ，仿射变换后点 y 坐标为 (y1,y1,0) ，则有:
  
  ρ⎛⎝⎜y1y20⎞⎠⎟=⎛⎝⎜m11m21m31m12m22m32m13m23m33⎞⎠⎟⎛⎝⎜x1x20⎞⎠⎟

所以有 m31=0,m32=0

4.2 不变量

• 射影变换保持直线，直线与点的接合性以及直线上点列的交比不变
• 仿射变换除具有以上不变性外，还保持直线与直线的平行性、直线上点列的简比不变
• 欧氏变换除具有仿射变换的不变性外，还保持两条相交直线的夹角不变，任意两点的距离不变

参考资料：

1. http://wenku.baidu.com/link?url=9P1Vd_Iizq0SSJeQkKOuSLCtgkN-6itQIR-s2GsEPuQ-aP3rAgfOyJ_BXYr1cNAhls8IXa1pEkja4ppaqFdWOjRwazj7iYT40JbnuSDl77W
2. http://wenku.baidu.com/link?url=yfcGfjxCBOGx-EJMsNhZ4i5Mj93tnnA5_mM_cUW5y8MEZZ1Sc2BIvWcNeXTiEX6Hy0Xi6RS44tNzcOnBtVWUgJZqH0FMI0zOecnNfPYOOIe&pn=50