FMCW雷达距离多普勒(RDM)处理方法中距离分辨率和速度分辨率的推导

距离多普勒(Range-Dopple Matrix)处理方法

  众所周知，距离多普勒处理方法(Range-Dopple Matrix，简称RDM)是FMCW雷达进行多目标信息提取的有效手段，通过对雷达发送的多个周期的Chirp序列以及回波信息进行快时间维度和慢时间维度的处理，即可得到距离多普勒热力图，进而可以提取多目标的距离和速度信息。

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  在FMCW的差拍信号中，我们知道，差拍信号的频率为
$$f_{movingBeat}=f_{staticBeat}\pm f_d=\frac{2f_{c}R}{C{t}_c}\pm \frac{2fv}{C}\text{\hspace{1em}(1)}$$  其中$f_{movingBeat}$和$f_{staticBeat}$分别为目标运动和静止状态下差拍信号的频率，$f_d$为多普勒频率，$f_c$为扫频带宽，$R$为目标距离，$C$为光速，$t_c$为扫频周期，$f$为Chirp信号中心频率，$v$为目标速度。

快时间维度处理(Range-FFT)

  快时间维度即单个周期的Chirp序列扫频周期时间很短，短到几乎可以将多普勒频率带来的影响忽略不计($t_c$↓，公式(1)中$f_{staticBeat}$项占了主要的位置)，认为此时通过RDM热力图提取到的动目标在距离维度上的动目标差频$f_{movingBeat}$与静目标差频$f_{staticBeat}$近似相等，即$$f_{movingBeat}\approx f_{staticBeat}=\frac{2f_{c}R}{C{t}_c}\text{\hspace{1em}(2)}$$  那么通过快时间维度的每一帧数据，提取频谱峰值对应的横坐标频率，即可对目标的距离进行求解；即$$R=\frac{C{t}_c}{2f_c}\cdot f_{staticBeat}\text{\hspace{1em}(3)}$$  快时间维处理示意图如下

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慢时间维度处理(Doppler-FFT)

  因为我们知道，在快时间维的处理中，认为速度带来的影响忽略不计，通过对多个Chirp序列进行多帧数据的堆积，此时在第二个维度上(即慢时间维度上，多帧数据对应的同一距离单元上)速度带来的频率影响就不可忽略，此时慢时间维度上求得的频率即为多普勒频率，即$$f_d=\frac{2fv}{C}\text{\hspace{1em}(4)}$$  所以有$$v=\frac{f_{d}C}{2f}\text{\hspace{1em}(5)}$$
  慢时间维处理示意图如下

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  慢时间维度的处理是经过多个Chirp序列积累后对同一距离单元进行FFT的结果，故称为慢时间维度，

  为什么是同一距离单元？
  因为Range-FFT中同一个横坐标对应相同的$f_{movingBeat}$，快时间维度下$f_{movingBeat}$约等于$f_{staticBeat}$，由公式(2)和公式(3)可知，对应同一距离单元

  快时间维度和慢时间维度处理总览

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  经过处理后可得到如下的距离多普勒热力图(Range-Dopple Heat Map)

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RDM中距离分辨率和速度分辨率推导方法

  网上关于RDM方法中距离分辨率和速度分辨率推导的资料实在太少，几乎都是两个长得不太好看公式直接糊你脸上，我的感受就是老人、地铁、看手机.jpg(此处省略表情包)，于是决定记录下推导过程，正所谓难者不会，会者不难。
  首先回顾下数字信号处理中第K个采样点的频率$f_k$与采样频率$f_s$间的关系，我们知道，第K个采样点的角频率服从如下关系
$${\omega }_k=\frac{k}{N_s}\cdot 2\pi =\Omega \cdot T_s=2\pi f_k\cdot \frac{1}{f_s}$$
  其中$N_s$为采样点数，$\Omega$为模拟角频率，$T_s$为采样频率，我们取出等式中的第二项和第四项，有
$$\frac{k}{N_s}\cdot 2\pi =2\pi f_k\cdot \frac{1}{f_s}$$  可得第K个采样点的频率$f_k$与采样频率$f_s$间的关系为
$$f_k=k\cdot \frac{f_s}{N_s}\text{\hspace{1em}(6)}$$
  到此就可以正式展开距离分辨率和速度分辨率的推导方法了，上一部分我们说到快时间维度的Range-FFT和慢时间维度的Doppler-FFT，有两个结论性的公式
$$f_{movingBeat}\approx f_{staticBeat}=\frac{2f_{c}R}{C{t}_c}\text{\hspace{1em}(7)}$$ $$f_d=\frac{2fv}{C}\text{\hspace{1em}(8)}$$  假设上一部分中距离多普勒热力图中，$n_1$为Range-FFT(快时间维度)中目标对应的坐标序列号，$n_2$为Doppler-FFT(慢时间维度)中同一目标对应的坐标序列号，则依照公式(6)可得
$$f_{movingBeat}=\frac{n_1}{N_s}\cdot f_s\text{\hspace{1em}(9)}$$ $$f_d=\frac{n_2}{N_{Chirp}}\cdot \frac{1}{t_c}\text{\hspace{1em}(10)}$$  其中$N_{Chirp}$为慢时间维度处理中Chirp序列的积累个数；公式(9)类比公式(6)，比较好理解，公式(10)也是类比公式(6)，只不过此时在慢时间维度上采样总数是积累的Chirp序列的总数，采样频率是每一个Chirp序列扫频周期的倒数，即$\frac{1}{t_c}$
  由此以来，分别联立公式(7)和公式(9)，联立公式(8)和公式(10)，可得
$$\frac{2f_{c}R}{C{t}_c}=\frac{n_1}{N_s}\cdot f_s$$ $$\frac{2fv}{C}=\frac{n_2}{N_{Chirp}}\cdot \frac{1}{t_c}$$   可解得
$$R=\frac{C}{2f_C}\cdot t_c\cdot \frac{n_1}{N_s}\cdot f_s\text{\hspace{1em}(11)}$$
$$v=\frac{C}{2f}\cdot \frac{n_2}{N_{Chirp}}\cdot \frac{1}{t_c}\text{\hspace{1em}(12)}$$  因为
$$t_c=N_s\cdot T_s=\frac{N_s}{f_s}\text{\hspace{1em}(13)}$$ $$t_{seq}=N_{Chirp}\cdot t_c\text{\hspace{1em}(14)}$$  将(13)代入(11)，将(14)代入(12)，可得
$$R=\frac{C}{2f_c}\cdot n_1$$$$v=\frac{C}{2f{t}_{seq}}\cdot n_2$$  此时，就得到了距离分辨率和速度分辨率，分别为
$$R_{res}=\frac{C}{2f_c}$$ $$v_{res}=\frac{C}{2f{N}_{Chirp}{t}_c}=\frac{C}{2f{t}_{seq}}$$

参考资料

• Automotive radar 信号处理 第2课 速度估计
• Radar测距及测速原理(2)——快速Chirp序列方法推导及实际应用
• 2D CFAR的原理，其实没那么的神奇