Java编程--RSA算法中的大整数运算

Java编程–RSA算法中的大整数运算

1. RSA原理浅析

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RSA是利用陷门单向函数实现的，其安全基础依赖于大整数的分解问题的难解性

2. 算法过程

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为了加深对RSA算法的了解，接下来通过简单的一个例子来分析一下：

eg:根据已知参数：$p=3,q=11,M=2$，手工计算公私钥，并对明文进行加密，然后对密文进行解密。

（1）首先计算$n=p\times q=3\times 11=33$
（2）$\Phi (n)=(p-1)(q-1)=2\times 10=20$
（3）选取加密密钥$e=3$, 因为有$1<e<\Phi (n)$且$gcd(3,20)=1$,$e$作为公开加密密钥
（4）计算$d$, 使$de\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\Phi (n))$,容易求解$d=7$,$d$是私钥
（5）加密过程：对于明文$M=2，c=M^e\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=23\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}33=8$
（6）解密过程 $M=c^d\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=87\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}33=2097152\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}33=2$

不难理解，当p,q非常大时，攻击者想要通过n值分解为p x q将是极其困难的，因此我们要尽可能找到大的素整数。

3. Java大整数运算

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程序示例: 随机选择3个较大的素数$x、e、n$ ，计算 $x^e\%n$

    //生成指定比特长度的大素数
    public static BigInteger genBigPrimer(int length){
    	Random random = new Random(new Date().getTime());
		return BigInteger.probablePrime(length, random);    	
    }
    
    //大素数运算
    public static void bigPrimerCalc(int len_X,int len_E, int len_N){
    	//Get x,e,n
    	BigInteger big_X = genBigPrimer(len_X);
    	BigInteger big_E = genBigPrimer(len_E);
    	BigInteger big_N = genBigPrimer(len_N);
    	
    	//Calculate x^e%n
    	BigInteger BigResult = big_X.modPow(big_E, big_N);
    	
    	System.out.println( big_X+"^" );
    	System.out.println( big_E+ " mod " );
    	System.out.println( big_N+ " is " );
    	System.out.println( BigResult);
    }