三阶贝塞尔曲线拆分

源地址为：http://m.blog.csdn.net/nibiewuxuanze/article/details/48229393。

三阶贝塞尔曲线被广泛用于各种需要平滑曲线的设计领域，一般通过多段三阶贝塞尔曲线顺次连接，构成比较复杂的曲线。

比如下图中，A、B、C和D控制红色曲线，D、E、F和G控制绿色曲线，G、H、I和A控制蓝色曲线。

img

对于上面红色曲线，我们把A和D称为端点，B和C称为柄点，可以发现端点总是被相邻曲线共用。

每一段三阶贝塞尔曲线均由两个端点和两个柄点，一共四个控制点进行控制，对于其中每个控制点的改变，均会影响这段曲线所有部分。

img

出于曲线微调的目的，在柄点B的移动过程中，只改变端点A到点E的那一段曲线（E点的位置固定起来），而对于点E到端点D的部分则维持不变。

这样的情况下，就需要分拆这段贝塞尔曲线为两段，端点A到点E为一段，点E到端点D为一段，然后再单独修改端点A到点E的那段曲线。

展示一下曲线分开后，单独控制的效果：

img

我们知道A、B、C和D四个控制点，描述了上面的三阶贝塞尔曲线，那么就有以下两个问题：

第一，分拆后的曲线AE和曲线ED，能否用三阶贝塞尔曲线描述？

第二，如果能够的话，那么曲线AE和曲线ED的控制点在哪里？

对于第一个问题，答案是肯定的。

可以证明曲线AE和曲线ED上的三阶贝塞尔曲线的参数方程，经过对参数变量的变换，可以转换为完整三阶贝塞尔曲线的参数方程（参数变量的取值范围调整到对应的定义域）。其中，曲线AE和曲线ED的三阶贝塞尔曲线的参数方程的参数变量，与完整三阶贝塞尔曲线的参数方程的参数变量，有着确定的函数关系。

那么，下面就针对第二个问题，来寻求解答。

由三阶贝塞尔曲线的参数方程定义

可以将点E定义为t等于特定值e (0

img

针对三阶贝塞尔曲线的定义，可以作出以下辅助点和辅助线；

img

根据贝塞尔曲线的特性，可以知道线段AB是贝塞尔曲线在A点的切线段，线段IJ是贝塞尔曲线在E点的切线，线段CD是贝塞尔曲线在D点的切线。

其中F、G、H、I、J是与贝塞尔曲线相关的辅助点，根据三阶贝塞尔曲线的规则，坐标可以定义如下：

img

img

另外，E也可以通过I和J来定义，如果进行推算，那么结果和P(e)也是一致的：

img

经过观察，感觉A、F、I和E很像是曲线AE的贝塞尔曲线控制点的样子，下面就针对这个猜想进行验证：

假设A、F、I和E就是曲线AE的贝塞尔曲线的控制点，那么以u为参数变量的三阶贝塞尔曲线方程可以表达如下：

img

代入F、I和E的坐标公式，则Q(u)可以转换为如下形式：

img

经过化简和整理可得：

img

以自变量t代替ue，则可以定义如下函数：

img

而曲线AE就是三阶贝塞尔曲线参数方程P(t)定义在t=[0, e]的部分，也即：

img

R(t)和PAE(t)的定义域和函数方程完全相同，所以可以得知Q(u)就是曲线AE的参数方程，也即A、F、I和E是曲线AE的三阶贝塞尔曲线的控制点，从而可以验证前面的猜想。

对于曲线ED部分，也可以采用相同方式进行证明，这里不再赘述。

从而，控制点ABCD描述的三阶贝塞尔曲线，可以被分解为控制点AFIE描述的贝塞尔曲线和控制点EJHD描述的贝塞尔曲线。

也即，对于三阶贝塞尔参数曲线方程P(t)而言，对于任意0

img

感谢Grapher和GeoGebra软件，使得方便排版文章中使用的公式和曲线。