第二章数学模型（第一周）

2016.04.28 完成文字部分
具体例子的Python实现待补充

2.1 数学模型的引出

数学模型
@维基百科 A mathematical model is a description of system using mathematical concepts and language.数学模型是利用数学概念和语言对系统的一种描述。
@自动控制 描述系统（或环节）的输出变量与输入变量（或内部变量）之间关系的数学表达式。
建立控制系统数学模型的意义 以便定量地给出系统中一些变量之间的相互关系，从而对控制系统进行各种分析和设计，包括稳定性和动态响应的性能分析。
代数方程 反应系统的静态关系。
微分方程/偏微分方程（连续系统）/差分方程（离散系统） 表示系统输入和输出之间的动态关系。
如何建立控制系统的数学模型
机理建模（主要方法） 根据系统的运动学或动力学的规律和机理，如机械系统中的牛顿定律，电系统中克希霍夫定律等，建立系统的数学表达式。要求已知所有元部件的结构及对于的物理机理。
实验建模 人为地给系统施加某种典型的输入信号，记录下对应的输出响应数据，通过辨识的方法采用适当的数学模型去模拟逼近该过程，所得的数学模型称为辨识模型，不需要了解系统内部情况，但不精确。(PS: 机器学习由于模型复杂，且内部关系难以了解，往往使用类似实验建模的方法)
建立控制系统的数学模型的原则
准确
简单，便于分析
简单的控制系统
线性系统 满足叠加原理的系统。

叠加原理.png
非线性系统 不满足叠加原理的系统。非线性系统对两个输入量的响应不能单独进行计算，因此系统分析将比较困难，很难找到一般通用方法。但在实际系统中，绝对线性的系统是不存在的，通常所谓的线性系统也是在一定范围内猜保证线性的。
集中/分布参数系统
集中参数系统 变量仅仅是时间的函数。动态数学模型通常是微分方程。
分布参数系统 变量不仅是时间函数，而且还是空间函数，动态数学模型通常是偏微分方程。（PS:偏微分方程和常微分方程的区别：1、常微分方程是含有自变量（一个）、未知函数和它的导数的等式，偏微分方程是含有自变量（两个或两个以上）、多元函数及其导数（偏导数）的等式； 2、常微分方程的解是一元函数；偏微分方程的解是多元函数。）
定常/时变
定常系统 微分方程的各项系数为常数。
时变系统 系统的微分方程的系数为时间的函数。
单入单出/多入多出
单输入单输出系统 系统只有一个输入变量和一个输出变量。
多输入多输出系统 系统有多个输入变量或者多个输出变量。