2016美赛MCM_A题解题思路

问题： 一个人用热水通过一个水龙头来注满一个浴缸，然后坐在在浴缸中，清洗和放松。不幸的是，浴缸不是一个带有二次加热系统和循环喷流的温泉式浴缸，而是一个简单的水容器。过一会儿，洗澡水就会明显地变凉，所以洗澡的人需要不停地将热水从水龙头注入，以加热洗浴水。该浴缸的设计是以这样一种方式，当浴缸里的水达到容量极限，多余的水通过溢流口泄流。考虑空间和时间等因素，建立一个浴缸的水温模型，以确定最佳的策略，使浴缸里的人可以用这个模型来让整个浴缸保持或尽可能接近初始的温度，而不浪费太多的水。

    使用你的模型来确定你的策略对浴缸的形状和体积，浴缸里的人的形状、体积、温度，以及浴缸中的人的运动等因素的依赖程度。如果这个人一开始用了一种泡泡浴剂加入浴缸，以协助清洗，这会怎样影响你的模型的结果？除了要求的一页MCM摘要提交之外，你的报告必须包括一页的为浴缸用户准备的非技术性的说明书来阐释你的策略，同时解释为什么洗澡水的温度得到均衡地保持是如此之难。

本次比赛我们获得M奖（8%） 

此题很明显要用到热力学的一些知识，博主不是物理学专业的，这类知识停留在高中水平。

首先分析题目，依据题意，我们需要考虑水与空气，水与浴缸壁，水与人体的热交换，并且要建立一个时空四维模型，能够反应出浴缸中任意一点在某一时刻的温度。

考虑到热水进入到浴缸时并不是瞬间扩散开的，我们需要考虑点热源扩散问题。

这样就产生了一个更难的问题，浴缸中每处水温不一致，他们散发的热量自然就不一致。真正的热量损失就需要用积分来做。

(这一块儿虽然不好解但最好要说明证明，否则很可能就是SP了)

 

为了简化问题， 我具体是这样做的，

（1）.证明点热源扩散的速度是比较快的(我们用仿真证明的），并且忽略水的对流，则认为浴缸中水温处处一致。

（2）.证明人与水之间存在较少的热量交换，可以或略不计。

（3）.把水与空气水与浴缸之间的热交换看成理想的高斯冷却。

 （放几张我们做的图）

 COMSOL仿真点热源扩散

洗澡策略的三维图的俯视图

我做的时候建立的浴缸热损失与热吸收模型。要维持浴缸内水温在一个恒定范围内，则需要保持浴缸内的。

即使考虑到这些，但是随着水温的变化，散失的热量也是不断变化的，我们不能简单的认为水温一直恒定在某个值上，所以我们用了一个递推公式来证明水温是可以长时间的维持在一个合理范围内，并画出水温随时间变化的曲线图。

通过调整注水的速度与温度，利用MATLAB绘图可以得到水温随时间的三维图像，为了达到节水的目的，需要最小化（注水的量+浴缸的容积）。

至于浴缸的设计除了考虑材质外，还要考虑开口面积与浴缸壁面积，此两项恰巧是水热量散失的接触面积，保持其他变量一直，可以做出水温与这两项的三维图像。