三次Hermite插值

设 f(x) 在节点 a≤x0,x1,⋯,xn≤b 处的函数值为 f0,f1,...,fn ，设 P(x)为f(x) 在区间 [a,b] 上的具有一阶导数的插值函数
（1）若要求 P(x) 在 [a,b] 上具有一阶导数（一阶光滑度）

P(xi)=f(xi)=fiP′(xi)=f′(xi)=f′,i=0,1,...,n

P(x) 可以是最高次数为2n+1次多项式，两个节点就可以用 2×1+1=3 次多项式作为插值函数。
（2）同样，若要求 P(x)在[a,b] 上具有m阶导数（m阶光滑度），即 P(x) 在节点 x0,x1,...,xn 处必须满足：

P(xi)=f(xi)=fiP′(xi)=f′(xi)=f′i⋯P(m)(xi)=f(m)(xi)=f(m)i,i=0,1,...,n

定义：称满足（1）或（2）式的插值问题为Hermite插值，称满足（1）或（2）式的插值多项式 P(x) 为Hermite插值多项式,记为 Hk(x) ,k为多项式次数。

三次Hermite插值

三次Hermite插值余项

R3(x)=f(4)(ξ)4!(x−x0)2(x−x1)2,x0≤ξ≤x1

当 f(4)(x)在[x0,x1] 上存在时，上述公式成立。

例题