第5章 递归算法设计

基本概念

• 在定义一个函数时，出现调用自身函数的，称为递归(recursion)。
• 如果一个递归函数，最后一条语句是递归调用语句，则称这种递归调用为尾递归(tail recursion)。
• 一个递归模型通常有两部分构成：初值（递归出口）和递归体。

递归的使用条件

• 递归的数学定义，比如斐波那契数列： F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n−1)+F(n−2),n≥3 。
• 递归的数据结构，出现了指向自身的指针或者引用，如链表、树、图等。
• 递归的求解方法。比如经典的汉诺塔问题。

递归函数的时间空间

求解递归函数的时间通常需要根据问题解出相应的递归式。
对于形如归并排序的分治算法，其递归式通常形如 T(n)=aT(bn)+f(n) ，通常可以使用主定理（《算法导论》 p53）来求解。
一般情况的递归算法的时间分析可能比较困难，需要详细了解递归的执行过程。比如动态规划法和暴力算法都可以使用递归，但是他们的时间复杂度有显著差异。
递归的空间复杂度除了要考虑分配的临时变量之外，还需要考虑递归的深度（虽然使用的是栈空间，也要将其计算在内。）

递归程序非递归化

对于递归的实现机理，需要理解现代CPU的栈帧模型。栈帧保存了当前函数状态的相关信息。当函数调用另一个函数时，它将保存临时变量等信息，同时为被调用的函数开辟另一个帧。因此递归函数调用，每一层是不会相互影响的。
通常情况下递归是由编译器自动实现，然而系统的栈空间是固定的，对于递归深度较大的情况，可能会出现栈溢出(stack overflow)，因此这时候必须用栈的数据结构手动模拟栈帧，来实现递归程序非递归化。具体操作来说，就是在原来递归出现之前，利用栈保存前一层的环境，然后切换到下一层；在原来递归返回到调用函数时，将栈顶元素出栈，得到被保存的环境。
一个例子可以参考之前第3章综合练习的一道题目字符串解码(Decode String)。
需要注意的是，编译器在自动实现递归的过程中，它能够自动将传值的参数进行恢复，但是不能将传地址（引用）的参数（尤其是定义在全局变量、堆空间的）进行恢复。这种情况下，需要手动将其恢复。这个问题可以思考DFS遍历迷宫时，用int [][]和vector>的异同：因为vector是一个类对象，每次自我调用的压栈都会将其复制一份，在返回时出栈也要调用析构函数销毁。这样保证了每次使用的vector都是相互独立的，自然不需要手动恢复。而int [][]则是直接传地址，在一个地方修改了，其他地方也是修改的。虽然使用vector>能够省去恢复的麻烦，但是其反复复制元素造成的效率问题也是不容忽视的。

递归算法的一般设计步骤

对于一般的递归问题，通常需要先转化成一个包含有初始状态和递推状态的模型。
递归一般是将较复杂的大问题，利用递推关系转化为一个或者多个相对较小的问题。直到最后每个子问题都满足初始条件（达到递归出口）。
对于递归定义问题的求解，直接利用定义进行递推就可以了。某些较为复杂的，非简单的数学问题，就需要抽象出递推关系。
抽象递推关系也是非常重要的，动态规划算法就是基于递推关系来确定最优解的。
如何具体设计递归算法，包括简单的回溯法(back-tracking)、动态规划算法(dynamic programming)，会在习题里结合具体的例子说明。