【HNU】数据结构-实验-算法-建造水族馆

这是HNU数据结构课程的实验八，来源于Codeforces 1873E。

原题链接：1873E Building an Aquarium

题目

【问题描述】

小希非常喜欢鱼，因此决定建造一个水族箱。他有一块由 $n$ 列组成的珊瑚礁，第 $i$ 列的高度为 $a_i$。接下来，他将围绕这块珊瑚礁建造一个水族箱，具体步骤如下：

1. 选择一个整数 $h\le 1$ 作为水族箱的高度。
2. 在水族箱的两侧建造高度为 $h$ 的墙壁。
3. 然后，向水族箱中注水，使得每一列的水位高度为 $h$，除非珊瑚的高度超过 $h$，此时该列不注水。

如测试样例的第一组，允许使用的水量为 $x=9$ 个单位，当珊瑚高度为 $a=[3,1,2,4,6,2,5]$ 且选择水族箱高度 $h=4$ 时，最终将使用总共 $w=8$ 单位的水，如图所示。

他可以使用最多 $x$ 个单位的水来注满这个水族箱，他也希望建造一个最大的水族箱，那么他可以选择的高度 $h$ 的最大值是多少？

【输入形式】

输入的第一行为一个正整数 $t(1\le t\le 10^4)$，表示测试数据的组数。

每个测试用例的第一行为两个正整数 $n$ 和 $x(1\le n\le 2\times 10^5,1\le x\le 10^9)$，表示珊瑚的列数以及小希可以使用的水的最大量。

每个测试用例的第二行为 $n$ 个正整数 $a_i(1\le a_i\le 10^9)$，表示每列珊瑚的高度。

所有的输入数据在满足约束条件下，保证都能输出一个有效的最大高度。

【输出形式】

输出为t行，每行一个正整数，表示每个水族箱满足条件的最大高度 $h$。

【样例输入】

5
7 9
3 1 2 4 6 2 5
3 10
1 1 1
4 1
1 4 3 4
6 1984
2 6 5 9 1 8
1 1000000000
1

【样例输出】

4
4
2
335
1000000001

【样例说明】

第一个测试用例已在题目描述中图示说明。当选择 $h=4$ 时，需要 $8$ 单位的水量；但如果将 $h$ 提高到 $5$，则需要 $13$ 单位的水量，这超过了给定的 $x=9$ 单位。因此 $h=4$ 是最优解。

在第二个测试用例中，我们可以选择 $h=4$，为每列添加 $3$ 单位水量，总共使用 $9$ 单位的水。可以证明这是最优方案。

第三个测试用例中，我们可以选择 $h=2$ 并完全用完所有的水量，因此这是最优解。

解答及代码

【解法一】

随着 $h$ 增大，需要的水量非严格单调递增，满足使用二分答案的条件，这也是官方题解的做法。

设 $L=\underset{1\le i\le n}{\min }{a}_i$，容易确定二分答案的范围为 $[L,L+x]$。

二分时要注意 mid 的取法，当一个 mid 尝试成功后，我们希望新二分区间变为 $[mid,R]$，为保证最后当 $L=R-1$ 时区间收敛，需要取 mid = (L + R + 1) / 2。

时间复杂度 $O(n\log x)$。

代码

#include 
using namespace std;

bool check(const vector<int> &a, const int h, const int max_water) {
    long long cur{};
    for (auto i : a) {
        if (i < h) {
            cur += h - i;
            if (cur > max_water) return 0;
        }
    }
    return 1;
}

int main() {
    cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int n, x;
        cin >> n >> x;
        vector<int> a(n);
        copy_n(istream_iterator<int>(cin), n, a.begin());

        long long l = *min_element(a.begin(), a.end());
        long long r = l + x;
        while (l < r) {
            long long mid{(l + r + 1) >> 1};
            if (check(a, mid, x)) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }

        cout << l << '\n';
    }
    return 0;
}

【解法二】

实际上本题也可以不用二分答案求解。

先将所有数据排序，然后遍历数组，依次尝试能否以当前 $a_i$ 作为水族箱高度，若能则更新剩余水量。

当剩余水量不足，将剩余水量补足至前面看高度能增加多少即可。

时间复杂度 $O(n\log n)$。

代码

比前一种解法简洁很多。

#include 
using namespace std;
int main() {
    cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int n, x, i;
        cin >> n >> x;
        vector<int> a(n);
        copy_n(istream_iterator<int>(cin), n, a.begin());
        sort(a.begin(), a.end());
        for (i = 1; i < n; i++) {
            long long inc = 1LL * (a[i] - a[i - 1]) * i;
            if (inc <= x) x -= inc;
            else break;
        }
        cout << a[i - 1] + x / i << '\n';
    }
    return 0;
}