欧几里得算法求解最大公约数

这里主要要介绍的欧几里得算法，主要是用于求解两个整数的最大公约数的问题。
传统的求解方法是采用暴力枚举的方法，即枚举所有可能值取其最大。其算法描述如下：

给定两个整数a,b
c = min{a, b}
max = 0; // 保存最大公约数
for i:0->c
    if (a % i == 0) And (b % i == 0) // '%'表示取模运算
        if (max < i)
            max = i;
return max;

显然，暴力破解所花费的时间会随着两个整数的增大而上升，尤其是当超过10000000后，求解速度就不是很理想了。

接下来介绍的欧几里得算法可用于简化该问题求解的规模。
假设 g g 是两个整数 a a 和 b b 的公约数，即存在整数 l l 和 m m ，使得下列式成立

a=g⋅mb=g⋅l(1) (1) a = g ⋅ m b = g ⋅ l

不妨假设 a>b a > b ，则有如下成立：

a=b⋅k+r(2) (2) a = b ⋅ k + r

其中 r≡a(modb),k∈N r ≡ a ( mod b ) , k ∈ N ，即 r r 是 a a 除 b b 的余数
将 (1) 代入 (2) 可得：

g⋅m=g⋅l⋅k+r⇒r=g⋅(m−l⋅k)(3) (3) g ⋅ m = g ⋅ l ⋅ k + r ⇒ r = g ⋅ ( m − l ⋅ k )

即 r r 可以整除 g g
通过(1)、(2)、(3)可知， g g 同时是 a,b,r a , b , r 的公约数

那么，求解 a,b a , b 的最大公约数，是不是等价于求解 b,r b , r 的最大公约数呢？
接下来证明这个命题：
假设 g g 是 a,b a , b 的最大公约数，而 r,b r , b 的最大公约数为 g∗ g ∗ ，其中 g∗>g g ∗ > g ，即

r=g∗⋅nb=g∗⋅l∗(4) (4) r = g ∗ ⋅ n b = g ∗ ⋅ l ∗

将(4)代入(2)

a=g∗⋅l∗⋅k+g∗⋅n∗⇒a=g∗(l∗⋅k+n) a = g ∗ ⋅ l ∗ ⋅ k + g ∗ ⋅ n ∗ ⇒ a = g ∗ ( l ∗ ⋅ k + n )

即

a=g∗(l∗⋅k+n)b=g∗⋅l∗(5) (5) a = g ∗ ( l ∗ ⋅ k + n ) b = g ∗ ⋅ l ∗

由(5)可知， g∗ g ∗ 也是 a,b a , b 的公约数。但之前假设 g g 是 a,b a , b 的最大公约数，而 g∗>g g ∗ > g ，所以这与条件相矛盾。故说明 求解 a,b a , b 的最大公约数等价于求解 b,r b , r 的最大公约数。

通过欧几里得算法，可以将求解 a,b a , b 的最大公约数转化为求解 b,r b , r 的最大公约数。注意到，该过程是可以重复的。其伪代码如下：

给定两个整数a,b // 假设 a > b > 0
while (r == 0) {
    r = a % b;
    a = b;
    b = r;
}
return a;