如何理解三维曲面的法线向量公式？

作者：玟清
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原答案如下（其实是错的）：

三维空间中的曲面可理解为三维空间中的标量场的等值面，

是每一点处的梯度，也就是值的变化最大的方向，直观上就是该等值面的法向方向。

考虑全微分公式

若和都在曲面上，则，于是

即与曲面上的

附近的任意极小线段垂直，即它是曲面的法向量。写得不严格，大致是这么个意思。

和拉格朗日乘子没直接关系吧，即使有关系，也是通过的间接关系。算子的各种运算和含义，需要在一些例子中理解，在任何一本微积分教材中都会涉及。初学的时候基本上都要死记一些，后面熟了之后才会理解。

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为什么上述答案是错的呢？因为它把一些似是而非的概念揉在了一起。正确答案应该是：

1. 梯度的定义是：对任意 ， ，其中 指 在 方向上的方向导数。点乘和方向导数都是有明确定义的 ( 方向上的方向导数可理解为 对 求导)，且不依赖于具体的坐标系，因而梯度是不依赖于具体坐标系的。
2. 对于曲面 ，一点处的切平面上的任一矢量 ，满足 ，因而 ，即梯度与切平面垂直。

所以，梯度的定义实际上就规定了它的唯一方向：与切平面垂直。那么原答案错的何处呢？

• 考虑曲面时，全微分没意义。处理曲面的工具是微分几何，依据是切平面上的局部坐标系，而全微分显然用了全局坐标系。
• 如果一定要用全局坐标系，并把dx,dy,dz理解坐标微元，它们显然与切平面不对齐。强制要求它们与切平面对齐，就得到一个处处变化的局部坐标系，实际上又回到了微分几何那一套。

那为什么一般都用 这个偏微分定义呢？它用的好像是全局坐标呀？

• 如果不考虑曲面性质，用全局坐标并无不妥。因为梯度与坐标系无关，这个定义只是它在一个具体坐标系下的表现形式。
• 为什么是这个形式呢？我们从梯度的原始定义出发，欲求梯度，需要先求切平面方程。对于曲面 ，它在某点 处的切平面方程的形式为 ，这实际上是 的一阶近似，因而系数就是那三个偏微分，这也就是梯度的偏微分定义的来源。

编辑于 2017-04-06