QBXT DAY 2 笔记

矩阵乘法：

A…n*m //A是n*m的矩阵
*
B…m*r //B是m*r的矩阵
= //进行矩阵乘法
C…n*r

C(i,j)=∑（A（i,k)*B(k,j)) //公式

a b x ax+by
* =
c d y cx+dy

a b dp[i][0] a*dp[i][0] + b*dp[i][1]
* =
c d dp[i][1] c*dp[i][0] + d*dp[i][1]

fibonacci第n项：

dp[n][0] (0 1) 1
= ( )^n *
dp[n][1] (1 1) 1

---

---

费马小定理：

假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p），即：假如a是整数，p是质数，

且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

威尔逊定理;

当且仅当p为素数时：( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )

欧拉定理:

n=75=3*5*5
=3*（5^2）
= ∏(Pk^Ak)

其中 P=(3,5），A=(1，2)

φ(n)=∏(Pk-1)*Pk^(Ak-1)

---

---

逆元:

以下公式均在%p意义下：

a^(p-1)=1 -> a*a^(p-2)=1 -> a^(p-2)=1/a ;

ax=b
-> x=b*(1/a)
=b*a^(p-2)//这个a^(p-2)就是逆元

a*x==a/(1/x) 则 1/x 是x的逆元

求逆元:

pow(x,p-2)%p

---

---

因数个数：

f（3）=2
f（4）=3
f（12）=6

f（a）=x
f（b）=y
f（a*b）=x*y //a、b互质

因数和：

g（3）=4
g（4）=7
g（12）=28

g（a）=x
g（b）=y
g（a*b）=x*y

---

---

数论函数：
整数映射到整数的函数

积性函数：http://paste.ubuntu.com/25659176/

如果一个数论函数f(x) 满足对于任意的互质正整数n,m 均有
f(nm) = f(n)f(m), 则称为积性函数。
如果一个数论函数f(x) 满足对于任意的正整数n,m 均有
f(nm) = f(n)f(m), 则称为完全积性函数。

---

---

素数判定：
Miller Rabin 算法:
素性判定算法，分解N-1 得
N - 1 = 2^r *d
我们对于随机的a，判断数列
a^d; a^2d; a^4d; a^(2r*d)
是否有某一位是n-1，然后就是一堆奇奇怪怪的1
如果是，那就是质数

---

---

线性筛时加一句if(i%prime[j]==0)break; 可以优化到O(n);

质数分布的上界是n/log(n)；