重叠相加法和重叠保留法的原理

重叠相加法和重叠保留法的原理

DFT(FFT)的一个应用，就是计算线性卷积。

设 h(n) 和 x(n) 长度分别为 N 和 M ，对于 L 点循环卷积，若满足 L>=N+M−1 ,则有 yc(n)=yl(n) 。

对于两个序列长度相差很大的情况，例如 M>>N ,为了节省存储空间并实现实时处理，则需要采取将长序列分段的方法。因为可以通过求循环卷积来得到线性卷积，所以以下先讨论循环卷积的情况。

仍然对于上述的 h(n) 和 x(n) ,当 M>>N 时，计算每一个 yc(n) 最多只需要 N 次(较短序列的长度)计算，即从 x(n−N+1) ~ x(n) 之间的 N 个值。所以即便将 x(n) 分解也可以得到卷积结果。

现将 x(n) 分解为许多长度为 K（K≥N） 的短序列 x0(n),x1(n),x2(n)... 。例如对于

x2(n),0≤n≤K−1

当 N−1≤n≤K−1 时，求得 y2(n) 所需的 x(n−N+1) ~ x(n) 之间的 N 个值可完全由 x2(n) 提供,但是当 0≤n≤N−2 时则无法只由 x2(n) 提供全部所需的 x(n) ，为了解决这个问题便提出了重叠相加法和重叠保留法。

1. 重叠相加法
   根据

   y(n)=h(n)∗x(n)=h(n)∗∑m=0∞xk(n)=∑m=0∞h(n)∗xk(n)=∑m=0∞yk(n)
   对 yk(n) 求和即可得到原本的 y(n) ,其本质就是对不完全的 yk(n) 进行补全，而原本就满足 N−1≤n≤K−1 的 yk(n) 则实际上不改变其值。

2. 重叠保留法
   此方法需 x(n) 分段时每两段之间需要重叠 N−1 个值（实际上大于该值都可以，但取 N−1 时最节省运算量），然后对所求的 yk(n) 去除前 N−1 个点。本质就是直接删去 0≤n≤N−2 的 yk(n) ，只保留 N−1≤n≤K−1 的 yk(n) ，因此在对分段时需要对 x(n) 重叠分段，保证对于每个n都有满足 N−1≤n≤K−1 的 xk(n) 。

综上，对于两种方法，都是为了解决相同的问题，即 x(n) 分段后每段内前 N−1 个 yk(n) 不完全的问题。