卢卡斯(Lucas)定理

引入

之前有写过一篇博客是求组合数（取模）的两种方法。那篇文章里介绍的方法其实也还有局限性，Pascal打表由于内存的限制一般只用于求取1000以内的组合数，而使用逆元套公式的方法其实也只适用于求取的组合数 C(n,m)%p 中，n 和 m均不大于要求的模数 p 。这样就导致了一个很尴尬的问题——如果要求取的组合数超过了模数p，这个时候有要怎么办呢。本人之前由于水平限制并没有了解到这个问题，前几天打玲珑杯#round 4的时候被这个问题困扰了，经队友提醒才知道有Lucas定理这种东西。这里就另写一篇文章，其实是作为之前的“组合数取模的两种方法”的一个拓展篇。将这个问题一次性终结到底。

定义、证明与方法

卢卡斯(Lucas)定理
设 P 为素数， a,b∈N∗ ,并且

a=akpk+ak−1pk−1+⋯+a1p+a0b=bkpk+bk−1pk−1+⋯+b1p+b0

这里 0≤ai,bi≤p−1 都是整数， i=0,1,2,⋯,k . 则有

Cba≡Cbkak∗Cbk−1ak−1∗⋯∗Cb0a0(mod P)

这里还要声明一点，本篇博客的参考书籍为冯志刚版《初等数论》第37页，下面给出原书的证明：

这个定理的意义就在于把 a 或者 b 或者两者均大于 p 的组合数 Cba 转换为求解小于 p 的整数 ak 和 bk 的组合数 Cbkak 的乘积。

而对于 a0,a1,⋯,ak 可以通过秦九韶算法:

a=(((⋯(0∗p+ak)⋯)∗p+a2)∗p+a1)∗p+a0

逆向得到，即

a0=(a/p0)%pa1=(a/p1)%pa2=(a/p2)%p⋮ak=(a/pk)%p

显然，秦九韶的逆向算法页同样适用于求解 b .

使用解析

实际求解 Cba 时，只要 ai 和 bi 当中有一个仍然大于 p ，就要继续使用逆向的秦九韶算法。但实际编写代码的过程，只需要递归即可：

LL Lucas(LL a, LL b)
{
    if(a < mod && b < mod)
        return C(a, b);
    return
        C(a % mod, b % mod) * Lucas(a / mod, b / mod);
}

其中C(a, b)的函数在之前的文章求组合数（取模）的两种方法叙述过了，这里就不继续赘述了。

现在，通过pascal打表的方法在 O(1) 的时间里求得小范围的组合数，用逆元的方法可以求取模数范围内的组合数，在加上Lucas定理，就可以求取任意范围内的组合数了。

在实际运用的过程中，可以根据实际判断哪种方法最适合， a,b 的是一个主导因素，同事，算法的简单性也是一个主导因素。毕竟，越简单的东西越不容易出错。杀鸡用牛刀不是不可以，但是你想过鸡的感受么。。。

以上です～