[GDOI2016]中学生数学题

题目大意

给定整数 n ，浮点数 p0 和 k ，解答一下两个询问：
∙ 令 w=⌊n−pk⌋(p−p0) ，其中 p 为自变量，要求最大化函数 w 且 n−pk≥0 、 p≥p0 。
∙ 令 w=⌊n−p1k⌋(p1−p0)+(⌊n−p2k⌋−⌊n−p1k⌋)(p2−p0) ，其中 p1、p2 为自变量，要求最大化函数 w ，且 n−p1k,n−p2k≥0 且 p1>p2 。

其中 n≤106 ， 0.1≤k≤10 ， p0>0

题目分析

这题出成中考题一定很爽。

Algorithm 1:枚举+三分

由于下取整里面的东西要大于等于 0 ，所以其最多有 n 种取值。我们通过枚举将它固定。
而且对于一个固定的下取整那一项，第一问中显然 p 越大越优，第二问（固定第一个下取整）中 p1 越大越优，这个最大值我们都是可以直接使用数学方法算出来的（这个就不讲了吧）。然后对于第二问中后面的东西怎么做，这是伪二次函数，是单峰的，使用三分即可。
时间复杂度 O(nlog1.5n)

Algorithm 2:三分套三分

第一问显然可以三分解决。
第二问我们将其化成另一个形式： w=⌊n−p1k⌋(p1−p2)+⌊n−p2k⌋(p2−p0) 。
我们拆开来考虑：当 p2 固定时，前面部分是单峰函数，满足三分的性质。然后我们考虑 p2 的变化，可以发现，当 p2 递增的时候，前面部分的最大值是满足单调不递增的（易证），后面部分是单峰函数。因此， w 是一个单峰函数加上一个单调不递增函数，显然我们找到单峰函数的峰，它左边部分是单调不递减加上一个单调不递增函数，于是这就变成一个单峰函数，可以三分；右边部分都是单调不递增，加起来显然是单调不递增函数，不会比左边优。所以我们三分找峰顶，在峰顶分成两部分，对左边进行三分即可。
时间复杂度 O((log1.5n)2) 。

Algorithm 3:奇怪的结论解法

数形结合，将函数图像画出来，发现是一个一次函数在第一象限内的线段，求上面某（两）点与坐标轴围成矩形面积（之和）。
第一问是线段中点，第二问线段三等分点。证明自证。
时间复杂度 O(1) 。

(Water)Algorithm 4:二分法

初一某水军使用二分水了过去，我无言以对，数据太强了没办法。

—————————————–我是萌萌哒分割线—————————————–

经过多方查证，我终于听闻了传说中二分求峰法。
二分出中点，然后在中点两边合适精度的地方取点，比较大小，转换区间。
首先这样做如果两边值大小相等，选哪边就变成了玄学。
其次精度开的不够好会被抖出峰顶，开高精度要牺牲时间复杂度。
当然其在随机数据下表现良好。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

int main()
{
    printf("题目还没有数据，等到数据来了，切出来再放标程。");
    return 0;
}