基于map-reduce的并行最短路径算法

一个有向图，由（V，E）组成，其中V是顶点的集合，E为联结各顶点的边，每条边e可能有相应的权重w。

图的表示方式有两种：邻接矩阵和邻接表。其中对于节点数较少的图，用邻接矩阵表示较为方便，计算时也能充分应用矩阵计算的一些优势。但是当节点数特别大，需要借助map-reduce计算时，用邻接表是更为合适的选择。每一行数据，key为NodeId，值为与这个节点邻接的所有节点的AdjacentList（可能还包含了每一个节点的权重）。


有向图的最短路径，即从源点s出发，到达图上任意结点的最短路径。

图论中最经典的最短路径算法即Dijkstra算法，它采用了贪心的策略，利用宽度优先一层层搜索，直到遍历所有结点或已经找到最短路径。算法伪代码如下：

Dijkstra(G,w, s)
    d[s] ← 0
    for all vertex v ∈ V do
        d[v] ← ∞
    Q ← {V }
    while Q != ∅ do
        u ←ExtractMin(Q)
        for all vertex v ∈ u.AdjacencyList do
            if d[v] > d[u] + w(u, v) then
                d[v] ← d[u] + w(u, v)


以下图的例子来说明这个算法：





n1为起始点。首先标记它到自已的距离为0，然后算法把所有节点(n2~n5)加入到优先队列Q中，并标记n1到这些点的距离为∞。

进入循环：

第一次迭代，从Q中取出最近的扩张点n1，找到n1的邻接点n2, n3，并更新到n2, n3的距离分别为10和5。

第二次迭代，从Q中取出最近的扩张点n3，找到n3的邻接点n2, n5, n4，这时发现n1经n3到n2的距离比直接到n2的距离要短，于是更新到n2的距离为8，到n5的距离为7，到n4的距离为14。

第三次迭代，从Q中取出最近的扩张点n5...

当所有点都搜索过后，算法终止，此时已经找到n1到各点的最短距离。

Dijkstra算法关键的一点是优先队列Q（实际实现可以用数组），它保存了全局的从源点出发最近的结点。而map-reduce则无法做到这一点（其实也不是做不到，就是比较麻烦，需要用distributed cache）。




基于map-reduce的并行算法跟Dijkstra算法有点类似，它也基于Dijkstra的迭代思想，伪代码如下：

class Mapper
    method Map(nid n, node N)
    d ← N.Distance
    Emit(nid n,N)                                  //Pass along graph structure [1]
    for all nodeid m ∈ N.AdjacencyList do
        Emit(nid m, d+w)                          //Emit distances to reachable nodes [2]

class Reducer
    method Reduce(nid m, [d1, d2, . . .])
    dmin←∞
    M ← ∅
    for all d ∈ counts [d1, d2, . . .] do
        if IsNode(d) then
            M ← d                                       //Recover graph structure
        else if d < dmin then                  //Look for shorter distance
            dmin ← d
    M.Distance← dmin                        //Update shortest distance
    Emit(nid m, node M)

它每次迭代执行一个map-reduce job，并且只遍历一个节点。在Map中，它先输出这个节点的完整邻接节点数据，即[1]。然后遍历该节点的邻接节点，并输出该节点ID及权重。在Reduce中，对当前节点m，遍历map的输出权重，若比当前的路径值小，则更新。最后输出该节点的路径值及完整邻接节点数据，作为下一次迭代的输入。

实现上有个细节需要注意的是，map的输出有两种类型的数据：邻接节点数据和权重数据，这可以通过一个包装类，并设置一个dataType变量来实现。

当遍历完所有的节点之后，迭代就终止了。

这个实现还有一个小问题就是，不知道完整的最短路径，这可以在[2]中修改一下Map的输出来实现。

下面是一个例子，邻接节点的数据格式为： nodeId --> distance | adj1: w1, adj2: w2...

原始输入为：

n1 --> 0 | n2: 6, n3: 15, n4:20


n2 --> ∞ | n3: 5, n4:8

n3 --> ∞ | n4:2

n4 -> ∞ |




第一次迭代：

Map：

n1 --> 0 | n2: 6, n3: 15, n4:20

n2 --> ∞ | n3: 5, n4:8


n3 --> ∞ | n4:2

n4 -> ∞ |

n2 --> 6
n3 --> 15

n4 --> 20

Reduce：

n1 --> 0 | n2: 6, n3: 15, n4:20

n2 --> 6 | n3: 5, n4:8

n3 --> 15 | n4:2

n4 --> 20 |

第二次迭代：

Map：


n1 --> 0 | n2: 6, n3: 15, n4:20

n2 --> 6 | n3: 5, n4:8

n3 --> 15 | n4:2

n4 --> 20 |

n3 --> 11
n4 --> 14

Reduce：


n1 --> 0 | n2: 6, n3: 15, n4:20

n2 --> 6 | n3: 5, n4:8

n3 --> 11 | n4:2

n4 --> 14 |

第三次迭代：


Map：


n1 --> 0 | n2: 6, n3: 15, n4:20

n2 --> 6 | n3: 5, n4:8

n3 --> 11 | n4:2

n4 --> 14 |

n4 --> 13
Reduce：


n1 --> 0 | n2: 6, n3: 15, n4:20

n2 --> 6 | n3: 5, n4:8

n3 --> 11 | n4:2

n4 --> 13 |

第四次迭代：

Map：


n1 --> 0 | n2: 6, n3: 15, n4:20

n2 --> 6 | n3: 5, n4:8

n3 --> 11 | n4:2

n4 --> 13 |

Reduce：

n1 --> 0 | n2: 6, n3: 15, n4:20

n2 --> 6 | n3: 5, n4:8

n3 --> 11 | n4:2

n4 --> 13 |

迭代终止