背包问题简介及代码分析(C、OC都可运行)

背包问题（Knapsack Problem）

 假设有一个背包的负重最多可达8公斤，而希望在背包中装入负重范围内可得之总价物品，假设是水果好了，水果的编号、单价与重量如下所示：
 0     李子     4KG     NT$4500
 1     苹果     5KG     NT$5700
 2     橘子     2KG     NT$2250
 3     草莓     1KG     NT$1100
 4     甜瓜     6KG     NT$6700

解法

背包问题是关于最佳化的问题，要解最佳化问题可以使用「动态规划」（Dynamic programming），从空集合开始，每增加一个元素就先求出该阶段的最佳解，直到所有的元素加入至集合中，最后得到的就是最佳解。

 
 以背包问题为例，我们使用两个阵列value与item，value表示目前的最佳解所得之总价，item表示最后一个放至背包的水果，假设有负重量 1～8的背包8个，并对每个背包求其最佳解。
 
 逐步将水果放入背包中，并求该阶段的最佳解：
 放入李子
 背包负重     1        2          3          4          5          6          7          8
 value          ０       ０       ０       4500    4500    4500    4500    9000
 item            －      －        －         ０         ０        ０        ０        ０
 
 放入苹果
 背包负重     1          2        3          4          5         6         7         8
 value          ０        ０       ０        4500     5700   5700   5700   9000
 item            －        －       －        ０          1         1        1        ０
 
 放入橘子
 背包负重     1          2          3          4           5          6          7          8
 value          ０     2250     2250     4500     5700     6750     7950     9000
 item           －         2           2         ０         1           2          2         ０
 
 放入草莓
 背包负重       1          2           3          4           5          6          7          8
 value        1100     2250     3350     4500     5700     6800     7950     9050
 item              3       2            3          ０          1           3           2          3
 
 放入甜瓜
 背包负重     1          2           3           4           5           6           7           8
 value          1100     2250     3350     4500     5700     6800     7950     9050
 item             3          2           3          ０          1           3          2            3
 

 由最后一个表格，可以得知在背包负重8公斤时，最多可以装入9050元的水果，而最后一个装入的 水果是3号，也就是草莓，装入了草莓，背包只能再放入7公斤（8-1）的水果，所以必须看背包负重7公斤时的最佳解，最后一个放入的是2号，也就 是橘子，现在背包剩下负重量5公斤（7-2），所以看负重5公斤的最佳解，最后放入的是1号，也就是苹果，此时背包负重量剩下0公斤（5-5），无法 再放入水果，所以求出最佳解为放入草莓、橘子与苹果，而总价为9050元。

代码及注释

#define LIMIT 8   // 重量限制
#define N 5       // 物品种类
#define MIN 1     // 最小重量

struct body {
    char name[20];
    int size;
    int price;
};

typedef struct body object;

//主程序
int item[LIMIT+1] = {0};
int value[LIMIT+1] = {0};
int newvalue, i, s, p;

object a[] = {{"李子", 4, 4500},
    {"苹果", 5, 5700},
    {"橘子", 2, 2250},
    {"草莓", 1, 1100},
    {"甜瓜", 6, 6700}};

for(i = 0; i < N; i++) {//每种水果都试一遍
    for(s = a[i].size; s <= LIMIT; s++) {//从该水果的千克数开始算起
        p = s - a[i].size;//获取前千克数的指针
        newvalue = value[p] + a[i].price;//获取购买该水果后的newvalue值
        if(newvalue > value[s]) {// 找到阶段最佳解，看看是不是比以前的多
            value[s] = newvalue;//保存这个较大的结果
            item[s] = i;//记录这次买了什么水果
        }
    }
}
printf("物品\t价格\n");
for(i = LIMIT; i >= MIN; i = i - a[item[i]].size) {
    printf("%s\t%d\n",
           a[item[i]].name, a[item[i]].price);
}
printf("合计\t%d\n", value[LIMIT]);