c(n,m) mod p 1 Lucas 定理

普通的组合数C(n,m)在数据较小的情况下可以先用杨辉三角存储组合值，取模的话再%p即可。但是如果n,m很大，组合的结果自然很多，pascal自然不能完成任务，这样的取模问题可以使用数论里的Lucas定理来解决。
数论Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p的值,p是素数（从n取m组合，模上p）。
描述为:
Lucas(n,m,p)=Cm(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p)
Lucas(x,0,p)=1;
而 这里的Cm(a,b)

（费马小定理，逆元）
看一个例子：http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2020

Problem Description

给出组合数C(n,m), 表示从n个元素中选出m个元素的方案数。例如C(5,2) = 10, C(4,2) = 6.可是当n,m比较大的时候，C(n,m)很大！于是xiaobo希望你输出 C(n,m) mod p的值！

Input

输入数据第一行是一个正整数T,表示数据组数 (T <= 100)接下来是T组数据，每组数据有3个正整数 n, m, p (1 <= m <= n <= 10^9, m <= 10^4, m < p < 10^9, p是素数)

Output

对于每组数据，输出一个正整数，表示C(n,m) mod p的结果。

Sample Input

25 2 35 2 61

Sample Output

110

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,m,p;
LL power(LL a,LL b){
    LL ans=1,temp=a%p;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*temp%p;
        temp=temp*temp%p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
LL cal(LL a,LL b){ // Cm(a,b)=(a!/(a-b)!) * (b!)^(p-2)) mod p
    if(b>a) return 0; // important
    LL ans=1;
    for(int i=1;i<=b;i++){
        LL t1=(a-b+i)%p,t2=i%p;
        ans=ans*(t1*power(t2,p-2)%p)%p;
    }
    return ans;
}
/*Lucas(n,m,p)=Cm(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p)
Lucas(x,0,p)=1;*/
LL lucas(LL t1,LL t2){
    if(t2==0) return 1;
    return cal(t1%p,t2%p)*lucas(t1/p,t2/p)%p;
}
int main()
{
    //freopen("cin.txt","r",stdin);
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
        printf("%lld\n",lucas(n,m));
    }
    return 0;
}