做习题的境界

就是把习题当成项目来做。十年寒窗。半世煎熬。习题做完，世界随之改变。例子： A = B这本200来页的书（免费下载。作者是好心银啊），解决了《 编程的艺术》上一道难度系数为50的习题：自动化多维几何级数的求和。如果有封闭解，则自动找到该解。不然自动证明无解。这好比20年前Wolfman的Mathematica搞定自动积分，号称机器不能积的，人肉也不用想。又好比优化编译器生成人肉编译器们望尘莫及的全局优化代码。众多老大多年积累引为自豪的技巧转眼成为自娱自乐的玩具，价值可比1949年太祖登位前的法币。技巧贬值事小，附着于技巧上的汗水，骄傲，地位，以及掌控未来的安全感也烟消云散恐怕更有杀伤力。所以愤怒和抵制情绪就象巴普洛夫狗的唾液一样自然分泌。一将功成万骨枯。世界就这么残酷。工业革命萌芽时疯狂打砸自动纺织机器的英国纺织工人们想必早有体会。历史上喜剧也总在重演。我们至少已经看过机器语言高手们对汇编的鄙视，汇编语言高手们对C的不屑，C语言高手们对使用垃圾收集器的愤怒。靠，又扯远了。还是说回这本书。

 

做过算法分析的老大们都知道，求和是门诡异的艺术，不然 Concrete Mathematics里也不至于花大量篇幅讨论各式让人眼花缭乱的技巧，比如第二章，比如第五章。对求和不熟的老大可以试一试求解下面的例子体验一下。

 

Knuth的 《编程的艺术》第一卷里有道题目(1.2.6.63)：开发出可以简化带二项式系数求和公式的程序。这道题的难度在1968年的初版中被定为50，意思是虽然很多牛人前赴后继，但仍未完全解决的研究问题。费马大定理也是书中的一道习题，难度系数也是50（97年的新版TAOCP里改成45了，因为Andrew Wiles在1994年搞定这坨定理，让无数民科肝肠寸断）。高难度的问题从来就是牛人们的内固醇。这道用计算机求和的题目让组合数学的牛人 Doron Zeilberger和 Herbert Wilf high得不行。于是1991年，著名的 Zeilberger-Wilf理论问世乐。这套理论使得我们可以用程序找出求和公式的封闭解，或者证明一个求和公式没有封闭解。端的威力巨大。有了这套理论，上述公式的求和变成下面的机械步骤：

1. 到这个网址下载EKHAD库。
2. 在Maple里载入这个库。
3. 定义F(n, k)，也就是求和符合后的项。
4. 调用zeil(F(n,k),k,n,N).      
5. 结果出来老。收工回家。老婆孩子热炕头。该干嘛干嘛。       

 

而这一切，都归功于A=B里总结的几个关键定理。这套定理把求和公式转换为某个复杂的递归表达式，而处理递归正是计算机的拿手好戏。想知道细节的，去读这本书吧，嘿嘿。

 

书的序言是Knuth写的。那句传布甚广关于科学和艺术的铿锵引言就是从这里来的：Science is what we understand well enough to explain to a computer. Art is everything else we do.... Science advances whenever an Art becomes a Science. And the state of the Art advances too, because people always leap into new territory once they have understood more about the old.