Fibonacci求序列和

文章来自http://www.mathworks.cn/moler/exm/chapters/fibonacci.pdf中的一道思考题,当然他上面已经有解了.我看了下挺好玩的所有写出来.

已知序列A={a1,a2,a3,a4...}

求函数F(x) = a1*x + a2*x^2+a3*x^3+a4*x^4+...

如果A为Fibonacci则求和结果

F(x) = x+2x^2+3x^3+5x^4+8x^5+...(假设0<x<1)不然这个数字会无限增大

我们很快根据这个写出函数

 1 bool double_eq(double d1,double d2) 

 2 {

 3         return abs(d1-d2) <0.0001;

 4 }

 5 

 6 //F(x) = x+2x^2+3x^3+5x^4+8x^5+...

 7 double fibonacci_1(double x)

 8 {

 9         const int n = 1476;

10         int fibs[n];

11         double sum = 0.0;

12         double temp = sum;

13 

14         fibs[0] = 1;

15         fibs[1] = 2;

16         sum = fibs[0]*x +fibs[1]*x*x;

17         for(int i = 2;i<n;i++)

18         {

19                 fibs[i] = fibs[i-1]+fibs[i-2];

20                 sum += fibs[i]*pow(x,i+1);

21                 if(double_eq(sum,temp))

22                         break;

23                 temp = sum;

24         }

25         return sum;

26 }

但是仔细想想有没有更好的方法呢,既然Fib可以迭代,x呢,每次求x^n也是很耗时间的.

由此引出了第二中解决方法

 1 //f(k) =fib(k) x^k = (fib(k-1)+fib(k-1))x^k = fib(k-1)*x^(k-1)*x + fib(k-2)*x^(k-2)*x^2

 2 //                = f(k-1)*x + f(k-2)*x^2 = x*(f(k-1)+f(x-2)*x)

 3 

 4 double fibonacci_2(double x)

 5 {

 6         double f_k_2,f_k_1,f_k;        

 7         double sum = 0.0,temp;        

 8         f_k_2 = x;

 9         f_k_1 = x + 2*pow(x,2);

10         f_k = (f_k_1+f_k_2*x)*x;

11         sum = f_k+f_k_1+f_k_2;

12         temp = sum;

13         while(true)

14         {

15                 f_k_1 = f_k_2;

16                 f_k_2 = f_k;

17                 f_k = (f_k_1+f_k_2*x)*x;

18                 sum+=f_k;

19 

20                 if(double_eq(sum,temp))

21                         break;

22                 temp = sum;

23         }

24 

25         return 0.0;

26 }

其中省去了pow函数的使用.

此时可能会想,这个方法肯定很牛了,直接使用了F(x)各个项之间的关系了.

但是还有更加吐血的方法.

于是有了下面的函数:

 1 //F(x) = x+2x^2+3x^3+5x^4+8x^5

 2 //        = x+(1+1)x^2 + (2+1)x^3+(3+2)x^4+(5+3)x^5

 3 //        = x + x^2 + x(x+2x^2+3x^3+5x^4) + x^2(x+2x^2+3x^3+...)

 4 //        = x+x^2+xF(x)+x^2F(x)

 5 //      (1-x-x^2)F(x) = x+x^2

 6 //

 7 //       F(x) = (x+x^2)/(1-x-x^2);

 8 

 9 double fibonacci_3(double x)

10 {        

11         return (x+x*x)/(1-x-x*x);

12 }

作者是这样说的'It is not even necessary to have a .m file.A one-liner does the job.'

 

记得<组合数学>上面好像说这个叫生成函数..嗯 挺好玩的........

当然最后要推荐下这本书<Experiments with MATLAB>http://www.mathworks.cn/moler/exm/chapters.html,电子版的,作者好像是Matlab他爸..上面还有PageRank算法的Matlab描述,有兴趣的可以看看....