理解欧拉角：定义、转换与应用

1. 引言

在三维空间中描述物体的旋转时，欧拉角（Euler Angles）是最直观的方法之一。它通过三个连续的绕轴旋转来表示任意朝向，广泛应用于机器人学、航空航天、计算机图形学等领域。然而，不同的欧拉角定义（如经典欧拉角和泰特-布莱恩欧拉角）以及它们之间的转换关系常常让人困惑。本文将系统介绍欧拉角的定义、旋转矩阵和四元数表示，并详细讲解如何在不同欧拉角之间进行转换。

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2. 欧拉角的定义

欧拉角根据旋转轴的选择和顺序不同，主要分为两类：

（1）经典欧拉角（Proper Euler Angles）

• 旋转顺序：绕同一个轴旋转两次（例如 Z-X-Z、X-Y-X）。
• 典型形式：Z-X-Z
  • 步骤：
    1. 绕 Z 轴旋转 $\alpha$（Yaw，偏航）。
       2.绕 X 轴旋转 $\beta$（Pitch，俯仰）。
    2. 再次绕 Z 轴旋转 $\gamma$（Roll，滚转）。
• 应用：适用于对称物体的旋转描述，如陀螺仪运动分析。

（2）泰特-布莱恩欧拉角（Tait-Bryan Angles）

• 旋转顺序：绕三个不同的轴旋转（例如 Z-Y-X、X-Y-Z）。
• 典型形式：Z-Y-X（Yaw-Pitch-Roll）
  • 步骤：
    1. 绕 Z 轴旋转 $\psi$（Yaw）。
    2. 绕 Y 轴旋转 $\theta$（Pitch）。
    3. 绕 X 轴旋转 $\varphi$（Roll）。
• 应用：无人机、机器人、飞行器控制，更符合人类直觉。

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3. 欧拉角 → 旋转矩阵

旋转矩阵可以唯一表示一个旋转，不同欧拉角对应的旋转矩阵如下：

（1）经典Z-X-Z欧拉角的旋转矩阵
$$R_{ZXZ}=R_Z(\alpha )\cdot R_X(\beta )\cdot R_Z(\gamma )$$
展开后：
RZXZ=[cαcγ−sαcβsγ−cαsγ−sαcβcγsαsβsαcγ+cαcβsγ−sαsγ+cαcβcγ−cαsβsβsγsβcγcβ] R_{ZXZ} = \begin{bmatrix} c_\alpha c_\gamma - s_\alpha c_\beta s_\gamma & -c_\alpha s_\gamma - s_\alpha c_\beta c_\gamma & s_\alpha s_\beta \\ s_\alpha c_\gamma + c_\alpha c_\beta s_\gamma & -s_\alpha s_\gamma + c_\alpha c_\beta c_\gamma & -c_\alpha s_\beta \\ s_\beta s_\gamma & s_\beta c_\gamma & c_\beta \end{bmatrix} RZXZ​= ​cα​cγ​−sα​cβ​sγ​sα​cγ​+cα​cβ​sγ​sβ​sγ​​−cα​sγ​−sα​cβ​cγ​−sα​sγ​+cα​cβ​cγ​sβ​cγ​​sα​sβ​−cα​sβ​cβ​​ ​
其中 $c_{\theta }=\cos \theta$, $s_{\theta }=\sin \theta$。

（2）泰特-布莱恩Z-Y-X欧拉角的旋转矩阵
$$R_{ZYX}=R_Z(\psi )\cdot R_Y(\theta )\cdot R_X(\varphi )$$
展开后：
RZYX=[cψcθcψsθsϕ−sψcϕcψsθcϕ+sψsϕsψcθsψsθsϕ+cψcϕsψsθcϕ−cψsϕ−sθcθsϕcθcϕ] R_{ZYX} = \begin{bmatrix} c_\psi c_\theta & c_\psi s_\theta s_\phi - s_\psi c_\phi & c_\psi s_\theta c_\phi + s_\psi s_\phi \\ s_\psi c_\theta & s_\psi s_\theta s_\phi + c_\psi c_\phi & s_\psi s_\theta c_\phi - c_\psi s_\phi \\ -s_\theta & c_\theta s_\phi & c_\theta c_\phi \end{bmatrix} RZYX​= ​cψ​cθ​sψ​cθ​−sθ​​cψ​sθ​sϕ​−sψ​cϕ​sψ​sθ​sϕ​+cψ​cϕ​cθ​sϕ​​cψ​sθ​cϕ​+sψ​sϕ​sψ​sθ​cϕ​−cψ​sϕ​cθ​cϕ​​ ​

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4. 欧拉角 → 四元数

四元数（Quaternion）是另一种表示旋转的方式，能避免万向节锁问题。

（1）经典Z-X-Z欧拉角 → 四元数
分步旋转对应的四元数：

1. 绕 Z 轴旋转 $\alpha$：$q_z(\alpha )=[\cos \frac{\alpha }{2},0,0,\sin \frac{\alpha }{2}]$
2. 绕 X 轴旋转 $\beta$：$q_x(\beta )=[\cos \frac{\beta }{2},\sin \frac{\beta }{2},0,0]$
3. 绕 Z 轴旋转 $\gamma$：$q_z(\gamma )=[\cos \frac{\gamma }{2},0,0,\sin \frac{\gamma }{2}]$

最终四元数：
$$q_{ZXZ}=q_z(\alpha )\cdot q_x(\beta )\cdot q_z(\gamma )$$

（2）泰特-布莱恩Z-Y-X欧拉角 → 四元数
分步旋转对应的四元数：

1. 绕 Z 轴旋转 $\psi$：$q_z(\psi )=[\cos \frac{\psi }{2},0,0,\sin \frac{\psi }{2}]$
2. 绕 Y 轴旋转 $\theta$：$q_y(\theta )=[\cos \frac{\theta }{2},0,\sin \frac{\theta }{2},0]$
3. 绕 X 轴旋转 $\varphi$：$q_x(\varphi )=[\cos \frac{\varphi }{2},\sin \frac{\varphi }{2},0,0]$

最终四元数：
$$q_{ZYX}=q_z(\psi )\cdot q_y(\theta )\cdot q_x(\varphi )$$

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5. 欧拉角之间的转换

由于不同欧拉角的旋转顺序不同，直接转换较为复杂，通常需要借助旋转矩阵或四元数作为中介。

（1）经典Z-X-Z → 泰特-布莱恩Z-Y-X

1. 将 Z-X-Z 欧拉角转换为旋转矩阵 $R_{ZXZ}$。
2. 从 $R_{ZXZ}$ 提取 Z-Y-X 欧拉角：
   $$\{\begin{array}{l}\theta =\arcsin (-r_{31})\\ \varphi =\arctan 2(r_{32},r_{33})\\ \psi =\arctan 2(r_{21},r_{11})\end{array}$$

（2）泰特-布莱恩Z-Y-X → 经典Z-X-Z

1. 将 Z-Y-X 欧拉角转换为旋转矩阵 $R_{ZYX}$。
2. 从 $R_{ZYX}$ 提取 Z-X-Z 欧拉角：
   $$\{\begin{array}{l}\beta =\arccos (r_{33})\\ \alpha =\arctan 2(r_{13},-r_{23})\\ \gamma =\arctan 2(r_{31},r_{32})\end{array}$$

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6. 注意事项

1. 万向节锁（Gimbal Lock）

   • 当俯仰角 $\theta =\pm 90^{\circ }$（Z-Y-X）或 $\beta =0^{\circ }$（Z-X-Z）时，旋转自由度减少，需特殊处理。
   • 解决方案：改用四元数或旋转矩阵计算。

2. 多解性

   • 反三角函数可能导致多个解（如 $\theta$ 和 $\pi -\theta$），需根据应用场景选择合理范围。

3. 数值稳定性

   • 在代码实现时，建议使用数学库（如 SciPy、Eigen）避免浮点误差。

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7. 结论

• 经典欧拉角（Z-X-Z） 适用于对称物体的旋转分析。
• 泰特-布莱恩欧拉角（Z-Y-X） 更符合飞行器、机器人的控制需求。
• 转换方法：必须通过旋转矩阵或四元数中转，无法直接代数转换。
• 推荐工具：使用 scipy.spatial.transform.Rotation 或 Eigen 库简化计算。