【扩散模型】正向扩散过程（Forward Diffusion）

0. Diffusion模型是什么？

Diffusion Model（扩散模型）是一类生成模型，可以从随机噪声逐步“还原”出高质量数据（如图像），其核心思想是：

正向过程把数据逐步加噪变成纯噪声，反向过程学会从噪声中一步步“去噪”还原出原始数据。

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正向扩散过程（Forward Diffusion）

• 输入原始数据（如一张图像 $x_0$）；
• 按照某个“时间步数”$t=1,2,...,T$，逐步向数据添加高斯噪声，得到 $x_1,x_2,...,x_T$；
• 当 $t=T$ 时，图像变成了近似纯噪声。

这是一种马尔可夫过程，形式化如下：

$$q(x_t|x_{t-1})=\mathcal{N}(x_t;\sqrt{1-{\beta }_t}{x}_{t-1},{\beta }_t\mathbf{I})$$

其中：

• ${\beta }_t\in (0,1)$ 是每一步添加的噪声强度；
• $x_t$ 是第 $t$ 步的图像。

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下面来详细拆解你没看懂的这个扩散过程的公式：

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原始公式回顾

我们说的 正向扩散过程（Forward Diffusion） 的公式是：

$$q(x_t|x_{t-1})=\mathcal{N}(x_t;\sqrt{1-{\beta }_t}{x}_{t-1},{\beta }_t\mathbf{I})$$

它表示第 $t$ 步图像 $x_t$ 是在第 $t-1$ 步图像 $x_{t-1}$ 的基础上加噪声得到的。

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逐项解释

我们把这个公式拆成两部分讲：

1️⃣ 整体结构：$q(x_t|x_{t-1})=\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$

这表示：

“在给定上一时刻图像 $x_{t-1}$ 的前提下，第 $t$ 步的图像 $x_t$ 是一个正态分布随机变量”。

这是马尔可夫链的经典形式：当前状态只依赖于上一个状态。

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2️⃣ 均值项：$\mu =\sqrt{1-{\beta }_t}\cdot x_{t-1}$

这说明我们对上一步的图像进行缩放（<1），意思是“保留一部分原图内容”。

• $\sqrt{1-{\beta }_t}\in (0,1)$ 是一个缩放系数；（这里加根号是想要控制总的“方差”维持在 1，让模型好学，训练稳定。）
• 越到后面步数 $t$ 越大，噪声越多，原图保留越少。

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3️⃣ 方差项：${\sigma }^2={\beta }_t\cdot \mathbf{I}$

• 这是一个“加噪”的强度参数；
• $\mathbf{I}$ 是单位矩阵，表示噪声在每个像素上都独立；
• ${\beta }_t$ 是人为设定的超参数，控制每一步加多少噪声。

简化理解：
“我们保留一部分旧图像，并加上一点高斯噪声。”

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用一句话总结这个过程：

每一步的图像 $x_t$ 是这样来的：

“拿上一步的图像 $x_{t-1}$，稍微压一压（乘 $\sqrt{1-{\beta }_t}$），再撒一层噪声粉末（加高斯噪声）”。

就像你用 Photoshop 滤镜一点点“模糊”一张照片。

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图像类比（帮助理解）

想象我们有一张猫的清晰图片：

• 第1步：图像稍微糊了一点（噪声强度 ${\beta }_1=0.001$）；
• 第100步：猫脸已经看不清了；
• 第1000步：完全变成随机的彩色噪声。

这中间的每一步，都是基于上一帧加了一点点噪声得到的，而公式就是在数学上描述这个过程。

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如果用代码模拟这个过程：

x_t = sqrt(1 - beta_t) * x_{t-1} + sqrt(beta_t) * torch.randn_like(x_{t-1})

这就是实际 PyTorch 实现中最核心的一行代码。

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