爬楼梯（动态规划）

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶c

初解（动态规划）： 

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        // 处理边界情况：当台阶数为1或2时，直接返回结果
        if(n == 1) return 1;  // 只有1种爬法：一步
        if(n == 2) return 2;  // 有2种爬法：一步一步或直接两步
        
        // 创建动态规划数组dp，dp[i]表示爬到第i+1阶台阶的方法数
        // 注意：由于索引从0开始，dp[i]对应第i+1阶台阶（例如dp[0]对应第1阶）
        vector dp(n);
        
        // 初始化基础情况：
        dp[0] = 1;  // 第1阶台阶只有1种爬法
        dp[1] = 2;  // 第2阶台阶有2种爬法
        
        // 从第3阶开始递推：每阶的方法数等于前两阶的方法数之和
        for(int i = 2; i < n; i++) {
            // 状态转移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
            // 解释：到达第i+1阶台阶的方法数 = 到达第i阶的方法数（再爬一步） + 到达第i-1阶的方法数（再爬两步）
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        
        // 返回第n阶台阶的方法数（注意索引为n-1）
        return dp[n-1];
    }
};

优化（滚动数组）： 

int climbStairs(int n) {
    // 处理边界情况：当台阶数为1或2时，直接返回n（1阶有1种，2阶有2种）
    if(n <= 2) return n;
    
    // 初始化前两个状态：a表示第i-2阶的方法数，b表示第i-1阶的方法数
    int a = 1, b = 2, c;
    
    // 从第3阶开始循环，逐步计算到第n阶
    for(int i = 3; i <= n; i++) {
        // 计算当前阶的方法数：等于前两阶的方法数之和
        c = a + b;
        
        // 滚动更新状态：a移动到b的位置，b移动到c的位置
        a = b;  // a变为b（即第i-1阶变为新的第i-2阶）
        b = c;  // b变为c（即当前阶变为新的第i-1阶）
    }
    
    // 循环结束时，b存储的是第n阶的方法数
    return b;
}

（要掌握）

1、dp数组及下标含义

2、打印dp数组（检查）

 

 解动态规划一般步骤：

1、求递推

2、dp数组初始化

3、遍历顺序