计数组合学1.3.2（排列的逆序、下降数、两种树表示）

排列统计量——排列的逆序、下降数、两种树表示

基本概念与定义

1. 逆序（Inversion）

   • 在排列 $\pi =a_1{a}_2\cdots a_n$ 中，若 $i<j$ 且 $a_i>a_j$，则称 $(a_i,a_j)$ 为一个逆序。
   • 逆序表 $T(\pi )$：序列 $(a_1,\dots ,a_n)$，其中 $a_i$ 表示 $i$ 在 $\pi$ 中左侧比它大的元素个数。
     • 例如，$\pi =417396285$ 的逆序表为 $(1,5,2,0,4,2,0,1,0)$。

2. 下降（Descent）

   • 下降集 $D(\pi )$：$D(\pi )=\{i\in [n-1]\mid a_i>a_{i+1}\}$。
   • 下降数 $d(\pi )$：$d(\pi )=|D(\pi )|$。

3. Euler数与多项式

   • Euler数 $A(n,k)$：具有 $k-1$ 个下降的排列数。
   • Euler多项式：
     $$\begin{gathered} A_n(x)=\sum _{\pi \in S_n}{x}^{d(\pi )+1}=\sum _{k=1}^{n}A(n,k)x^k. \\ A(n,k)=card\{\pi \in S_n\mid d(\pi )=k-1\}. \end{gathered}$$
   • 前几项：
     $A_1(x)=x$,
     $A_2(x)=x+x^2$,
     $A_3(x)=x+4x^2+x^3$.

4. 胜位与弱胜位

   • 胜位（Excedance）：$i\in [n]$ 满足 $\pi (i)>i$。
   • 弱胜位（Weak Excedance）：$i\in [n]$ 满足 $\pi (i)\ge i$。

5. 主指标（Major Index）

   • $\text{MAJ}(\pi )={\sum }_{i\in D(\pi )}i$。

6. 排列的树表示

   • 递增二叉树 $T(\pi )$：

     • 对排列 $\pi =a_1{a}_2\cdots a_n$，递归构造二叉树：
       1. 根节点为当前子排列的最小元素 $a_i$。
       2. 左子树为 $a_i$ 左侧的子排列，右子树为右侧子排列。
     • 性质：每条从根到叶子的路径标号递增。
     • 示例：$\pi =57316284$ 的 $T(\pi )$ 如图1-2所示。

   • 无序递增树 $T^{\prime }(\pi )$：

     • 顶点为 $\{0,1,\dots ,n\}$，边表示排列中元素的相对位置关系。
     • 构造规则：顶点 $i$ 是 $\pi$ 中左侧比 $i$ 小的最右元素的后继。
     • 示例：$\pi =57316284$ 的 $T^{\prime }(\pi )$ 如图1-3所示。

7. 排列的局部性质

   • 上升：$a_{i-1}<a_i<a_{i+1}$。
   • 下降：$a_{i-1}>a_i>a_{i+1}$。
   • 峰值：$a_{i-1}<a_i>a_{i+1}$。
   • 谷值：$a_{i-1}>a_i<a_{i+1}$。

8. 树与排列的对应关系

   • $T(\pi )$ 的顶点性质与 $\pi$ 的元素性质对应：

     $\pi$ 的元素性质	$T(\pi )$ 的顶点性质
     上升	右后继
     下降	左后继
     谷值	左右后继
     峰值	无后继（叶子）

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命题总结

命题 1.3.9

映射 $T:S_n\to [0,n-1]\times [0,n-2]\times \cdots \times [0,0]$（逆序表）是双射。

推论 1.3.10

$$\sum _{\pi \in S_n}{q}^{i(\pi )}=(1+q)(1+q+q^2)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-1}).$$

证明思路：

1. 逆序表求和：
   • $i(\pi )=a_1+\cdots +a_n$，其中 $a_i\in [0,n-i]$。
2. 生成函数分解：
   • 每个 $a_i$ 独立贡献 ${\sum }_{a_i=0}^{n-i}{q}^{a_i}$，整体为乘积形式。

命题 1.3.11

对 $S=\{s_1,\dots ,s_k{\}}_{<}\subseteq [n-1]$，
$$\alpha (S)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{s_1,s_2-s_1,\dots ,n-s_k}\right).$$

证明思路：
$$\alpha (S)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{s_1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-s_1}{s_2-s_1}\right)\cdots \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-s_{k-1}}{n-s_k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{s_1,s_2-s_1,\dots ,n-s_k}\right).$$

示例：
$S=\{2,5\}\subseteq [6]$，则 $\alpha (S)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2,3,2}\right)$。

命题 1.3.12

具有 $k$ 个胜位的排列数 = 具有 $k+1$ 个弱胜位的排列数 = Euler数 $A(n,k+1)$。

命题 1.3.14

1. $n$ 个顶点的递增二叉树个数为 $n!$。
2. 恰有 $k$ 个左后继的递增二叉树个数为 Euler 数 $A(n,k+1)$。
3. 具有 $k$ 个叶子的递增二叉树数 = 具有 $k-1$ 个双后继顶点的递增二叉树数。
4. 完全递增二叉树（每个非叶子节点有两个后继）的个数等于交错排列数（即(a_1>a_2a_4<\cdots

命题 1.3.16

1. $n+1$ 个顶点的无序递增树个数为 $n!$。
2. 根有 $k$ 个后继的无序递增树个数为无符号Stirling数 $c(n,k)$。
3. 具有 $k$ 个叶子的无序递增树个数为 Euler 数 $A(n,k)$。