计数组合学1.3.1（圈结构）

排列统计量——圈结构

1. 基本概念与定义

• 排列与双射：将集合 $S$ 的排列 $\pi$ 视为一个双射 $\pi :S\to S$。
• 圈（Cycle）：对于排列 $\pi$ 和元素 $z\in S$，序列 $(z,\pi (z),{\pi }^2(z),\dots )$ 称为 $z$ 的一个圈。圈的长度是回到起始元素的最小正整数 $\ell$，即(\pi^\ell(x)=x)。
• 不相交圈分解：每个排列可以表示为若干不相交的圈的并，例如 $\pi =(14)(2)(375)(6)$。
• 标准表示：
  • 每个圈中最大元素放在首位。
  • 圈按最大元素从小到大排列。
  • 例如，$\pi =(2)(41)(6)(753)$ 是标准表示。
• 字表示 $\hat{\pi }$：去掉标准表示中的括号得到的排列，如 $\hat{\pi }=2416753$。
• 自左向右极大元：在 $\hat{\pi }$ 中，满足 $\forall j<i,a_j<a_i$ 的元素 $a_i$。

2. 符号与定义

• $c_i(\pi )$：排列 $\pi$ 中长度为 $i$ 的圈的个数。
• 型（Type）：排列 $\pi$ 的型为序列 $(c_1,c_2,\dots ,c_n)$，记作 $\text{type}(\pi )$。
• $c(\pi )$：排列 $\pi$ 中圈的总数，$c(\pi )={\sum }_{i=1}^n{c}_i(\pi )$。
• 第一类 Stirling 数：
  • 无符号：$c(n,k)$ 表示 $n$ 元排列中恰有 $k$ 个圈的排列数。
  • 带符号：$s(n,k)=(-1{)}^{n-k}c(n,k)$。

3. 命题与推论

命题 1.3.1

• 映射 $\pi \mapsto \hat{\pi }$ 是双射。
• 若 $\pi$ 有 $k$ 个圈，则 $\hat{\pi }$ 有 $k$ 个自左向右极大元。

证明思路：

1. 双射构造：
   • 从 $\hat{\pi }$ 恢复 $\pi$：在自左向右极大元前加左括号，形成圈的标准表示。
   • 例如，$\hat{\pi }=2416753$ 对应 $\pi =(2)(41)(6)(753)$。
2. 圈与极大元的对应：
   • 每个圈的首元素是 $\hat{\pi }$ 的一个极大元，故圈数 $k$ = 极大元数。

命题 1.3.2

型为 $(c_1,\dots ,c_n)$ 的排列数为 $\frac{n!}{1^{c_1}{c}_1!2^{c_2}{c}_2!\cdots n^{c_n}{c}_n!}$。

证明思路：

1. 多重计数：
   • 将排列的线性表示划分为指定长度的圈。
   • 长为 $i$ 的圈有 $c_i$ 个，排列方式为 $c_i!$ 种，且每圈有 $i$ 种循环移位。
2. 分母调整：
   • 消除重复计数（圈顺序、循环移位），得到公式。

引理 1.3.3

$c(n,k)$ 满足递推式：
$$c(n,k)=(n-1)c(n-1,k)+c(n-1,k-1),$$
初值 $c(0,0)=1$，其余 $c(n,k)=0$（若 $n\le 0$ 或 $k\le 0$）。

证明思路：

1. 递推分析：
   • 情况1：将 $n$ 插入现有圈（非新圈），有 $(n-1)c(n-1,k)$ 种方式。
   • 情况2：$n$ 自成新圈，有 $c(n-1,k-1)$ 种方式。

命题 1.3.4

$$\sum _{k=0}^{n}c(n,k)x^k=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1).$$

证明思路：

1. 半组合证明：
   • 定义生成函数 $F_n(x)=x(x+1)\cdots (x+n-1)$，验证其系数满足递推式。
2. 双射证明：
   • 构造序对 $(S,f)$ 与排列的双射，其中 $S\subseteq [n-1]$，$f:S\to [n-1]$ 满足 $f(i)<i$。
3. 多项式赋值法：
   • 证明对所有 $x\in \mathbb{P}$ 等式成立。

命题 1.3.7

满足 $0\le a_i\le n-i$ 且恰有 $k$ 个 $a_i=0$ 的序列 $(a_1,\dots ,a_n)$ 共 $c(n,k)$ 个。

证明思路：

• 从命题 1.3.4 取 $x=1$，序列 $a_i$ 对应排列的插入过程，$a_i=0$ 对应新圈的起点。

推论 1.3.8

有 $k$ 个自左向右极大元的排列数为 $c(n,k)$。

4. 关键思想

• 双射思想：排列的圈表示与字表示之间的双射关系。
• 递推关系：第一类 Stirling 数的递推关系及其组合解释。
• 生成函数：通过生成函数研究排列的圈统计量。
• 多重表示：同一对象（如排列）的不同表示方法揭示了不同计数问题之间的联系。

5. 例子与应用

• 例子 1.3.5：展示了如何从集合 $S$ 和函数 $f$ 构造排列的标准表示。
• 例子 1.3.6：通过序列 $(a_1,\dots ,a_n)$ 构造排列的具体步骤。

小结

关键点包括：

1. 排列的圈表示与字表示的双射。
2. 第一类 Stirling 数的递推关系与组合解释。
3. 生成函数在排列统计中的应用。
4. 多重表示的统一性（如自左向右极大元与圈数的等价性）。