第五章算法设计题

以二叉链表作为二叉树的存储结构，编写以下算法：

（1）统计二叉树的叶结点个数。

[题目分析]如果二叉树为空，返回0，如果二叉树不为空且左右子树为空，返回1，如果二叉树不为空，且左右子树不同时为空，返回左子树中叶子节点个数加上右子树中叶子节点个数。

[算法描述]

int LeafNodeCount(BiTree T)

{

if(T==NULL)

    return 0; //如果是空树，则叶子结点个数为0

else if(T->lchild==NULL&&T->rchild==NULL)

    return 1; //判断结点是否是叶子结点（左孩子右孩子都为空），若是则返回1

else

    return LeafNodeCount(T->lchild)+LeafNodeCount(T->rchild);

}

（2）判别两棵树是否相等。

[题目分析]先判断当前节点是否相等(需要处理为空、是否都为空、是否相等)，如果当前节点不相等，直接返回两棵树不相等;如果当前节点相等，那么就递归的判断他们的左右孩子是否相等。

[算法描述]

int compareTree(TreeNode* tree1, TreeNode* tree2)

//用分治的方法做，比较当前根，然后比较左子树和右子树

{bool tree1IsNull = (tree1==NULL);

bool tree2IsNull = (tree2==NULL);

if(tree1IsNull != tree2IsNull)

{

return 1;

}

if(tree1IsNull && tree2IsNull)

{//如果两个都是NULL，则相等

return 0;

}//如果根节点不相等，直接返回不相等，否则的话，看看他们孩子相等不相等

if(tree1->c != tree2->c)

{

　return 1;

}

return (compareTree(tree1->left,tree2->left)&compareTree(tree1->right,tree2->right))

 (compareTree(tree1->left,tree2->right)&compareTree(tree1->right,tree2->left));

}//算法结束

（3）交换二叉树每个结点的左孩子和右孩子。

[题目分析]如果某结点左右子树为空，返回，否则交换该结点左右孩子，然后递归交换左右子树。

[算法描述]

void ChangeLR(BiTree &T)

{

BiTree temp;

if(T->lchild==NULL&&T->rchild==NULL)

         return;

else

{

         temp = T->lchild;

         T->lchild = T->rchild;

         T->rchild = temp;

}//交换左右孩子

ChangeLR(T->lchild);  //递归交换左子树

ChangeLR(T->rchild);  //递归交换右子树

}

（4）设计二叉树的双序遍历算法（双序遍历是指对于二叉树的每一个结点来说，先访问这个结点，再按双序遍历它的左子树，然后再一次访问这个结点，接下来按双序遍历它的右子树）。

[题目分析]若树为空，返回；若某结点为叶子结点，则仅输出该结点；否则先输出该结点，递归遍历其左子树，再输出该结点，递归遍历其右子树。

[算法描述]

void DoubleTraverse(BiTree T)

{

if(T == NULL)

    return;

else if(T->lchild==NULL&&T->rchild==NULL)

    cout<data;     //叶子结点输出

else

{

    cout<data;

    DoubleTraverse(T->lchild);   //递归遍历左子树

    cout<data;

    DoubleTraverse(T->rchild);   //递归遍历右子树

}

}

（5）计算二叉树最大的宽度（二叉树的最大宽度是指二叉树所有层中结点个数的最大值）。

[题目分析] 求二叉树高度的算法见上题。求最大宽度可采用层次遍历的方法，记下各层结点数，每层遍历完毕，若结点数大于原先最大宽度，则修改最大宽度。

[算法描述]

int Width(BiTree bt)//求二叉树bt的最大宽度

{if (bt==null) return (0);  //空二叉树宽度为0

else

{BiTree Q[];//Q是队列，元素为二叉树结点指针，容量足够大

front=1;rear=1;last=1;

//front队头指针,rear队尾指针,last同层最右结点在队列中的位置

temp=0; maxw=0;       //temp记局部宽度, maxw记最大宽度

Q[rear]=bt;           //根结点入队列

while(front<=last)

    {p=Q[front++]; temp++; //同层元素数加1

if (p->lchild!=null)  Q[++rear]=p->lchild;   //左子女入队

if (p->rchild!=null)  Q[++rear]=p->rchild;   //右子女入队

if (front>last)      //一层结束，

        {last=rear;

if(temp>maxw) maxw=temp;

//last指向下层最右元素, 更新当前最大宽度

         temp=0;

 }//if   

}//while

return (maxw);

}//结束width

（6）用按层次顺序遍历二叉树的方法，统计树中具有度为1的结点数目。

[题目分析]

若某个结点左子树空右子树非空或者右子树空左子树非空，则该结点为度为1的结点

[算法描述]

int Level(BiTree bt) //层次遍历二叉树，并统计度为1的结点的个数

{int num=0; //num统计度为1的结点的个数

 if(bt){QueueInit(Q); QueueIn(Q,bt);//Q是以二叉树结点指针为元素的队列

while(!QueueEmpty(Q))

{p=QueueOut(Q); cout<data;     //出队,访问结点

if(p->lchild && !p->rchild ||!p->lchild && p->rchild)num++;

//度为1的结点

if(p->lchild) QueueIn(Q,p->lchild); //非空左子女入队

if(p->rchild) QueueIn(Q,p->rchild); //非空右子女入队

} // while(!QueueEmpty(Q))

}//if(bt)        

return(num);

}//返回度为1的结点的个数

（7）求任意二叉树中第一条最长的路径长度，并输出此路径上各结点的值。

[题目分析]因为后序遍历栈中保留当前结点的祖先的信息，用一变量保存栈的最高栈顶指针，每当退栈时，栈顶指针高于保存最高栈顶指针的值时，则将该栈倒入辅助栈中，辅助栈始终保存最长路径长度上的结点，直至后序遍历完毕，则辅助栈中内容即为所求。

[算法描述]

void LongestPath(BiTree bt)//求二叉树中的第一条最长路径长度

{BiTree p=bt,l[],s[];

//l, s是栈，元素是二叉树结点指针，l中保留当前最长路径中的结点

int i，top=0,tag[],longest=0;

while(p || top>0)

{while(p) {s[++top]=p；tag[top]=0; p=p->Lc;} //沿左分枝向下

if(tag[top]==1)    //当前结点的右分枝已遍历

{if(!s[top]->Lc && !s[top]->Rc)  //只有到叶子结点时，才查看路径长度

if(top>longest)

{for(i=1;i<=top;i++) l[i]=s[i]; longest=top; top--;}

//保留当前最长路径到l栈，记住最高栈顶指针，退栈

}

else if(top>0) {tag[top]=1; p=s[top].Rc;}   //沿右子分枝向下

}//while(p!=null||top>0)

}//结束LongestPath

（8）输出二叉树中从每个叶子结点到根结点的路径。

[题目分析]采用先序遍历的递归方法，当找到叶子结点*b时，由于*b叶子结点尚未添加到path中，因此在输出路径时还需输出b->data值。

[算法描述]

void AllPath(BTNode *b,ElemType path[],int pathlen)

{int i;

 if (b!=NULL)

{if (b->lchild==NULL && b->rchild==NULL) //*b为叶子结点

{cout << " " << b->data << "到根结点路径:" << b->data;

      for (i=pathlen-1;i>=0;i--)

      cout << endl;

}

    else

     {path[pathlen]=b->data;           //将当前结点放入路径中

      pathlen++;                     //路径长度增1

      AllPath(b->lchild,path,pathlen);   //递归扫描左子树

      AllPath(b->rchild,path,pathlen);   //递归扫描右子树

      pathlen--;                     //恢复环境

     }

  }// if (b!=NULL)

}//算法结束