P1080 [NOIP 2012 提高组] 国王游戏

题目描述

恰逢 H 国国庆，国王邀请 $n$ 位大臣来玩一个有奖游戏。首先，他让每个大臣在左、右手上面分别写下一个整数，国王自己也在左、右手上各写一个整数。然后，让这 $n$ 位大臣排成一排，国王站在队伍的最前面。排好队后，所有的大臣都会获得国王奖赏的若干金币，每位大臣获得的金币数分别是：排在该大臣前面的所有人的左手上的数的乘积除以他自己右手上的数，然后向下取整得到的结果。

国王不希望某一个大臣获得特别多的奖赏，所以他想请你帮他重新安排一下队伍的顺序，使得获得奖赏最多的大臣，所获奖赏尽可能的少。注意，国王的位置始终在队伍的最前面。

输入格式

第一行包含一个整数 $n$，表示大臣的人数。

第二行包含两个整数 $a$ 和 $b$，之间用一个空格隔开，分别表示国王左手和右手上的整数。

接下来 $n$ 行，每行包含两个整数 $a$ 和 $b$，之间用一个空格隔开，分别表示每个大臣左手和右手上的整数。

输出格式

一个整数，表示重新排列后的队伍中获奖赏最多的大臣所获得的金币数。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 
1 1 
2 3 
7 4 
4 6

输出 #1

2

说明/提示

【输入输出样例说明】

按 $1$、$2$、$3$ 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 $2$；

按 $1$、$3$、$2$ 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 $2$；

按 $2$、$1$、$3$ 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 $2$；

按$ 2$、$3$、$1 $这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 $9$；

按 $3$、$1$、$2 $这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 $2$；

按$ 3$、$2$、$1$ 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 $9$。

因此，奖赏最多的大臣最少获得 $2$ 个金币，答案输出 $2$。

【数据范围】

对于 $20\%$ 的数据，有 $1\le n\le 10,0<a,b<8$；

对于 $40\%$ 的数据，有$ 1≤ n≤20,0 < a,b < 8$；

对于 $60\%$ 的数据，有 $1\le n\le 100$；

对于 $60\%$ 的数据，保证答案不超过 $10^9$；

对于 $100\%$ 的数据，有 $1\le n\le 1,000,0<a,b<10000$。

NOIP 2012 提高组 第一天 第二题

贪心策略

• 通过数学推导可证明最优排序策略为：按 $l_i\times r_i$ 升序排列。
  设大臣 $i,j$ 相邻，交换前奖励最大值为 $\max \left(\frac{P}{r_i},\frac{P\times l_i}{r_j}\right)$，交换后为 $\max \left(\frac{P}{r_j},\frac{P\times l_j}{r_i}\right)$。
  当 $l_i\times r_i\le l_j\times r_j$ 时，交换不会使最大值增大。因此按 $l_i\times r_i$ 升序排序最优。

高精度处理

• 因乘积可能极大（如 $10^4$ 个 $10^5$ 相乘）

算法流程

• 初始化
• 读入国王的 $l_1,r_1$，将 $l_1$ 转为高精度数组 sum[]。
• 排序
• 大臣按 $l_i\times r_i$ 升序排序（国王固定首位）。
• 遍历计算
• 对每个大臣：
• 用当前乘积 sum[] 除以其右手值 $r_i$，得到临时奖励
• 与历史最大值 ans[] 比较并更新
• 将 sum[] 乘以该大臣的左手值 $l_i$
• 输出结果
• 输出最终记录的最大奖励值 ans[]。

复杂度分析

• 时间：$O(n\log n)$ 排序 + $O(nL)$ 高精度操作（$L$ 为数字位数）
• 空间：$O(L)$ 存储高精度数

详细代码

#include
#define int long long
//#define int
using namespace std;
const int N=1e4+5;
int l[N],sum[N],r[N],n,a[N],ll,ans[N],llans;
//double xie[N];
//priority_queueq;
bool cmp(int a,int b)
{
	return l[a]*r[a]<l[b]*r[b];
}
void chen(int a[],int b)
{
	for(int j=1;j<=ll;j++)
		a[j]=a[j]*b;
	int js=1;
	while(a[js]>0||js<=ll)
	{
		a[js+1]+=a[js]/10;
		a[js]%=10;
		js++;
	}
	if(a[js]==0)js--;
	ll=js;
}
int c[N];
void chu(int a[],int b)
{
	
	fill(c+1,c+1+ll,0);
	int x=0;
	for(int i=ll;i>=1;i--)
	{
		c[i]=(x*10+a[i])/b;
		x=(x*10+a[i])%b;
	}
	int js=ll;
	while(c[js]==0&&js>0)
		js--;

	if(js>llans)
	{
		for(int i=1;i<=js;i++)
			ans[i]=c[i];
		llans=js;
		return;
	}
	if(js==llans)
	{
		for(int i=js;i>=1;i--)
			if(ans[i]<c[i])
			{
				for(int j=1;j<=js;j++)
					ans[j]=c[j];
				return;
			}
	}
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>l[1]>>r[1];
//	int sum=0;
	for(int i=2;i<=n+1;i++)
	{
		cin>>l[i]>>r[i];
		a[i]=i;
	}
	sort(a+2,a+2+n,cmp);
	ll=0;
	while(l[1]>0)
	{
		ll++;
		sum[ll]=l[1]%10;
		l[1]/=10;
	}
	llans=1;
	for(int i=2;i<=n+1;i++)
	{
		chu(sum,r[a[i]]);
//		cout<
//		for(int j=ll;j>=1;j--)
//			cout<
//		cout<<" "<
		chen(sum,l[a[i]]);
	}
//	for(int i=ll;i>=1;i--)
//		cout<
//	cout<<'\n';
//	chu(sum,1);
//	for(int i=ll;i>=1;i--)
//		cout<
//	cout<<'\n';
	for(int i=llans;i>=1;i--)
		cout<<ans[i];
	return 0;
}