2025考研数一真题及答案

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1. 已知函数 $f(x)={\int }_0^x{e}^{t^2}\sin tdt$, $g(x)={\int }_0^x{e}^{t^2}dt\cdot {\sin }^{2}x$, 则（ ）
   (A) $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, 也是 $g(x)$ 的极值点
   (B) $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 是曲线 $y=g(x)$ 的拐点
   © $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
   (D) $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点, 也是曲线 $y=g(x)$ 的拐点
2. 已知级数: ① ${\sum }_{n=1}^{\infty }\sin \frac{n^3\pi }{n^2+1}$; ② ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}-\tan \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}$, 则（ ）
   (A) ①与②均条件收敛
   (B) ①条件收敛, ②绝对收敛
   © ①绝对收敛, ②条件收敛
   (D) ①与②均绝对收敛
3. 设数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty )$ 上可导, 则（ ）
   (A) 当 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ 存在时, ${\lim }_{x\to +\infty }{f}^{\prime }(x)$ 存在
   (B) 当 ${\lim }_{x\to +\infty }{f}^{\prime }(x)$ 存在时, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ 存在
   © 当 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{{\int }_0^{x}f(t)dt}{x}$ 存在时, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ 存在
   (D) 当 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ 存在时, ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{{\int }_0^{x}f(t)dt}{x}$ 存在
4. 设函数 $f(x,y)$ 连续, 则 ${\int }_{-2}^{2}dx{\int }_{4-x^2}^{4}f(x,y)dy=$（ ）
   (A) ${\int }_0^4\left[{\int }_{-2}^{-\sqrt{4-y}}f(x,y)dx+{\int }_{\sqrt{4-y}}^{2}f(x,y)dx\right]dy$
   (B) ${\int }_0^4\left[{\int }_{-2}^{\sqrt{4-y}}f(x,y)dx+{\int }_{\sqrt{4-y}}^{2}f(x,y)dx\right]dy$
   © ${\int }_0^4\left[{\int }_{-2}^{-\sqrt{4-y}}f(x,y)dx+{\int }_2^{\sqrt{4-y}}f(x,y)dx\right]dy$
   (D) $2{\int }_0^{4}dy\left[{\int }_{\sqrt{4-y}}^{2}f(x,y)dx\right]$
5. 二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3$ 的正惯性指数为（ ）
   (A) 0
   (B) 1
   © 2
   (D) 3
6. 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 是 $n$ 维向量, ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关, ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性相关, 且 ${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_4=0$, 在空间直角坐标系 $O-xyz$ 中, 关于 $x,y,z$ 的方程组 $x{\alpha }_1+y{\alpha }_2+z{\alpha }_3={\alpha }_4$ 的几何图形是（ ）
   (A) 过原点的一个平面
   (B) 过原点的一条直线
   © 不过原点的一个平面
   (D) 不过原点的一条直线
7. 设 $n$ 阶矩阵 $A,B,C$ 满足 $r(A)+r(B)+r(B)=r(ABC)+2n$, 给出下列四个结论:
   ① $r(ABC)+n=r(AB)+r(C)$; ② $r(AB)+n=r(A)+r(B)$; ③ $r(A)=r(B)=r(C)=n$; ④ $r(AB)=r(BC)=n$, 其中正确的选项是（ ）
   (A) ①②
   (B) ①③
   © ②④
   (D) ③④
8. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从正态分布 $N(0,0;1,1;\rho )$, 其中 $\rho \in (-1,1)$, 若 $a,b$ 为满足 $a^2+b^2=1$ 的任意实数, 则 $D(aX+bY)$ 的最大值为（ ）
   (A) 1
   (B) 2
   © $1+|\rho |$
   (D) $1+{\rho }^2$
9. 设 $X_1,X_2,\dots ,X_{20}$ 是来自总体 $B(1,0.1)$ 的简单随机样本, 令 $T={\sum }_{i=1}^{20}{X}_i$, 利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得 （ ）$P\{T\le 1\}\approx$
   (A) $\frac{1}{e^2}$
   (B) $\frac{2}{e^2}$
   © $\frac{3}{e^2}$
   (D) $\frac{4}{e^2}$
10. 设 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 为来自正态总体 $N(\mu ,2)$ 的简单随机样本, 记 $\overline{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$, $Z_{\alpha }$ 表示标准正态分布的上侧 $\alpha$ 分位数, 假设检验问题: $H_0:\mu \le 1,H_1:\mu >1$ 的显著性水平为 $\alpha$ 的检验的拒绝域为（ ）
    (A) $\left\{(x_1,x_2,\dots ,x_n)|\overline{X}>1+\frac{2}{n}{Z}_{\alpha }\right\}$
    (B) $\left\{(x_1,x_2,\dots ,x_n)|\overline{X}>1+\frac{\sqrt{2}}{n}{Z}_{\alpha }\right\}$
    © $\left\{(x_1,x_2,\dots ,x_n)|\overline{X}>1+\frac{2}{\sqrt{n}}{Z}_{\alpha }\right\}$
    (D) $\left\{(x_1,x_2,\dots ,x_n)|\overline{X}>1+\sqrt{\frac{2}{n}}{Z}_{\alpha }\right\}$
11. ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{x^x-1}{\ln x\cdot \ln (1-x)}=\underline{}$
12. 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0\le x<\frac{1}{2}\\ x^2,& \frac{1}{2}\le x\le 1\end{array}$ 的傅里叶级数为 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n\sin n\pi x$, $S(x)$ 为 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n\sin n\pi x$ 的和函数, 则 $S(-\frac{7}{2})=\underline{}$.
13. 已知函数 $U(x,y,z)=x{y}^2{z}^3$, 向量 $n=(2,2,-1)$, 则 ∂ v ∂ n ∣ ( 1 , 1 , 1 ) = ‾ \left. \frac{\partial v}{\partial n} \right|_{(1, 1, 1)} = \underline{\quad\quad } ∂n∂v​ ​(1,1,1)​=​.
14. 已知有向曲线 $L$ 是沿抛物线 $y=1-x^2$ 从点 $(1,0)$ 到 $(-1,0)$ 的段, 则曲线积分 ${\int }_L(y+\cos x)dx+(2x+\cos y)dy=\underline{}$.
15. 设矩阵 A = ( 4 2 − 3 a 3 − 4 b 5 − 7 ) A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -3 \\ a & 3 & -4 \\ b & 5 & -7 \end{pmatrix} A= ​4ab​235​−3−4−7​ ​, 若方程组 $A^{2}x=0$ 与 $Ax=0$ 不同解, 则 $a-b=\underline{}$.
16. 设 $A,B$ 为两个不同随机事件, 且相互独立, 已知 $P(A)=2P(B),P(A\cup B)=\frac{5}{8}$, 则 $A,B$ 中至少有一个发生的条件下, $A,B$ 中恰好有一个发生的概率为 $\underline{}$.
17. (本题满分 10 分) 计算 ${\int }_0^1\frac{1}{(x+1)(x^2-2x+2)}dx$.
18. (本题满分 12 分) 已知函数 $f(u)$ 在区间 $(0,+\infty )$ 内具有二阶导数, 记 $g(x,y)=f\left(\frac{x}{y}\right)$, 若 $g(x,y)$ 满足 $x^2\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}+xy\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x\partial y}+y^2\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}=1$, 且 $g(x,x)=1$, ∂ g ∂ x ∣ ( x , x ) = 2 x \left. \frac{\partial g}{\partial x} \right|_{(x,x)}=\frac{2}{x} ∂x∂g​ ​(x,x)​=x2​, 求 $f(u)$.
19. (本题满分 12 分) 设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内可导, 证明: 导函数 $f^{\prime }(x)$ 在 $(a,b)$ 内严格单调增加的充分必要条件是: 对 $(a,b)$ 内任意的 $x_1,x_2,x_3$, 当 $x_1<x_2<x_3$ 时, $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$.
20. (本题满分 12 分) 设 $\Sigma$ 是由直线 $\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}$ 绕直线 $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t\\ z=t\end{array}$ ($t$ 为参数) 旋转一周得到的曲面, ${\Sigma }_1$ 是 $\Sigma$ 介于平面 $x+y+z=0$ 与 $x+y+z=1$ 之间部分的外侧, 计算曲面积分 $${\iint }_{{\Sigma }_1}xdydz+(y+1)dzdx+(z+2)dxdy$$.
21. (本题满分 12 分) 设矩阵 A = ( 0 − 1 2 − 1 0 2 − 1 − 1 a ) A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & a \end{pmatrix} A= ​0−1−1​−10−1​22a​ ​, 已知 $A$ 的特征多项式的重根.
    (1) 求 $a$ 的值.
    (2) 求所有满足 $A\alpha =\alpha +\beta$, $A^2\alpha =\alpha +2\beta$ 的非零列向量 $\alpha$, $\beta$.
22. (本题满分 12 分) 投保人的损失事件发生时, 保险公司赔付额 $Y$ 与投保人的损失额 $X$ 的关系为 $Y=\{\begin{array}{l}0,X\le 100\\ X-100,X>100\end{array}$. 设损失事件发生时, 投保人的损失额 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{2\times 100^2}{(100+x{)}^3},x>0\\ 0,x\le 0\end{array}$.
    (1) 求 $P\{Y>0\}$ 及 $E(Y)$.
    (2) 这种损失事件在一年内发生的次数记为 $N$, 保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为 $M$, 假设 $N$ 服从参数为 8 的泊松分布, 在 $N=n(n\ge 1)$ 的条件下, $M$ 服从二项分布 $B(n,P)$, 其中 $P=P\{Y>0\}$, 求 $M$ 的概率分布.