【2025年软考中级】第三章数据结构3.4 数组与矩阵

数组与矩阵

数组

数组的基本概念

数组是定长线性表在维度上的扩展，本质是线性表的嵌套结构（线性表中的元素本身又是一个线性表）。其核心特性包括：

• 同构性：所有数据元素类型相同、结构一致（如二维数组int arr[3][4]中每个元素均为整数）。
• 下标约束：每个维度的下标有明确上下界，且按顺序排列（通常从0开始）。
• 操作限制：数组元素数目固定，一般不支持插入/删除操作，更适合查询和修改，因此优先采用顺序存储结构。

数组的存储与地址计算

数组采用顺序存储时，可通过下标快速计算元素地址。以二维数组为例，假设每个元素占用len字节，起始地址为a，存储方式分为：

行优先存储

按行依次存储每一行元素，地址计算公式（从0开始编号）：

$$addr(i,j)=a+(i\times n+j)\times len$$
（n为列数，i为行号，j为列号）

列优先存储

按列依次存储每一列元素，地址计算公式：
$$addr(i,j)=a+(j\times m+i)\times len$$
（m为行数，i为行号，j为列号）

地址计算图示

矩阵

矩阵的基本概念

矩阵是二维数组的应用形式，由m行n列元素组成。常见类型包括：

• 方阵：行数=列数（m=n）。
• 三角矩阵：上三角矩阵（i>j时元素为0）或下三角矩阵（i时元素为0）。
• 稀疏矩阵：非零元素数目远少于零元素，且分布无规律。

稀疏矩阵的存储

为节省空间，稀疏矩阵采用压缩存储，仅记录非零元素信息：

三元组表（Triplet Table）

存储非零元素的（行号，列号，值）三元组，按行优先排列。

• 示例矩阵：

  0 0 3 0  
  0 2 0 0  
  1 0 0 0  
  

• 三元组表表示：
  

十字链表（Orthogonal List）

用链表存储非零元素，每个节点包含行指针、列指针、值，形成行列双向链表。

• 结构示意图：
  

特殊矩阵的压缩存储

对于有规律的矩阵（如对称矩阵、对角矩阵），可利用规律进一步压缩：

• 对称矩阵：满足A[i][j] = A[j][i]，仅存储上三角或下三角部分，节省一半空间。
• 对角矩阵：非零元素集中在主对角线附近，按对角线顺序存储元素，减少无效空间占用。

通过合理选择存储结构，可显著提升矩阵运算效率（如转置、乘法），并降低内存消耗。