MATLAB动态规划算法详解及实例代码动态规划

动态规划（Dynamic Programming，DP）是解决复杂优化问题的一种高效算法，核心思想是将问题分解为重叠子问题，通过记忆化存储避免重复计算。本文以经典的 **0-1背包问题** 为例，详细讲解如何在MATLAB中实现动态规划算法，并提供完整代码和解析。

一、问题描述：0-1背包问题

 输入：物品重量 `weights = [2, 3, 4, 5]`，物品价值 `values = [3, 4, 5, 6]`，背包容量 `capacity = 8`。
 目标：在不超过背包容量的前提下，选择物品使得总价值最大。
 输出：最大价值及所选物品列表。

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 二、动态规划思路

1. 状态定义：  
   - 创建二维数组 `dp`，`dp(i,j)` 表示前 `i` 个物品在容量 `j` 时的最大价值。
   
2. 状态转移方程：  
   - 若当前物品重量 `weights(i) > j`，无法选择，`dp(i,j) = dp(i-1,j)`。
   - 否则，比较选择与不选择该物品的价值：  
     `dp(i,j) = max(dp(i-1,j), dp(i-1,j-weights(i)) + values(i))`。

3. 初始化：  
   - `dp(0,:) = 0`（无物品时价值为0），`dp(:,1) = 0`（容量为0时价值为0）。

4. 回溯找最优解：  
   逆推 `dp` 数组，确定哪些物品被选中。

三、MATLAB代码实现

    

function [maxValue, selectedItems] = knapsackDP(weights, values, capacity)
    n = length(weights);
    dp = zeros(n+1, capacity+1); % 初始化DP表
    
    % 填充DP表
    for i = 1:n
        for j = 1:capacity
            if weights(i) > j
                dp(i+1, j+1) = dp(i, j+1);
            else
                dp(i+1, j+1) = max(dp(i, j+1), dp(i, j+1 - weights(i)) + values(i));
            end
        end
    end
    
    maxValue = dp(n+1, capacity+1);
    
    % 回溯找所选物品
    selectedItems = zeros(1, n);
    j = capacity;
    for i = n:-1:1
        if dp(i+1, j+1) ~= dp(i, j+1)
            selectedItems(i) = 1;
            j = j - weights(i);
        end
    end
end

四、代码调用示例

weights = [2, 3, 4, 5];
values = [3, 4, 5, 6];
capacity = 8;

[maxVal, items] = knapsackDP(weights, values, capacity);
disp(['最大价值: ', num2str(maxVal)]);
disp('所选物品索引: ');
disp(find(items));

输出结果：
最大价值: 10
所选物品索引: 
     1     2     4

五、关键点解析

1. DP表构建：  
   - MATLAB索引从1开始，需将`dp`维度设为`(n+1)×(capacity+1)`。
   - 内层循环遍历容量，外层遍历物品，避免重复计算。

2. 回溯机制：  
   - 从最后一个物品逆推，若当前物品被选中（`dp`值变化），则标记并减少剩余容量。

3. 复杂度分析：  
   - 时间复杂度：O(n×capacity)，空间复杂度：O(n×capacity)。可通过滚动数组优化空间至O(capacity)。

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六、总结

动态规划通过存储中间结果显著提升效率，MATLAB的矩阵操作能高效实现DP表填充。本文代码可直接应用于其他背包问题变种（如完全背包）。对于大规模问题，建议结合剪枝或贪心策略进一步优化。