分段贝塞尔曲线

分段贝塞尔曲线

什么是分段贝塞尔曲线

贝塞尔曲线是一种参数化曲线，广泛应用于计算机图形学和相关领域。分段贝塞尔曲线是将多条贝塞尔曲线连接起来形成的更复杂曲线，它能够表示比单条贝塞尔曲线更复杂的形状。

基本概念

1. 单段贝塞尔曲线：由控制点和Bernstein基函数定义

   • 二次贝塞尔曲线(3个控制点)
   • 三次贝塞尔曲线(4个控制点)

2. 分段贝塞尔曲线：将多条贝塞尔曲线首尾相连

   • C0连续：简单连接，曲线段在连接点处位置相同
   • C1连续：一阶导数连续，曲线段在连接点处切线相同
   • G1连续：几何连续，切线方向相同但大小可能不同

MATLAB演示

1. 绘制分段贝塞尔曲线(C0连续)

% 定义两段贝塞尔曲线的控制点
P1 = [0, 0; 1, 2; 3, 3; 4, 1]; % 第一段
P2 = [4, 1; 5, 0; 6, 2; 7, 1]; % 第二段(C0连续)

% 计算两段贝塞尔曲线
t = linspace(0, 1, 100);
B1 = (1-t).^3.*P1(1,:) + 3*(1-t).^2.*t.*P1(2,:) + 3*(1-t).*t.^2.*P1(3,:) + t.^3.*P1(4,:);
B2 = (1-t).^3.*P2(1,:) + 3*(1-t).^2.*t.*P2(2,:) + 3*(1-t).*t.^2.*P2(3,:) + t.^3.*P2(4,:);

% 绘图
figure;
hold on;
plot([P1(:,1); P2(2:end,1)], [P1(:,2); P2(2:end,2)], 'ro-'); % 控制多边形
plot(B1(:,1), B1(:,2), 'b-', 'LineWidth', 2); % 第一段
plot(B2(:,1), B2(:,2), 'g-', 'LineWidth', 2); % 第二段
title('C0连续的分段贝塞尔曲线');
legend('控制多边形', '第一段', '第二段');
grid on;
axis equal;

运行结果：

2. 绘制C1连续的分段贝塞尔曲线

% 定义第一段控制点
P1 = [0, 0; 1, 2; 3, 3; 4, 1];

% 确保C1连续：P2(2) = 2*P1(4) - P1(3)
P2 = [P1(4,:); 2*P1(4,:)-P1(3,:); [5, 0]; [6, 2]];

% 计算两段贝塞尔曲线
t = linspace(0, 1, 100);
B1 = (1-t).^3.*P1(1,:) + 3*(1-t).^2.*t.*P1(2,:) + 3*(1-t).*t.^2.*P1(3,:) + t.^3.*P1(4,:);
B2 = (1-t).^3.*P2(1,:) + 3*(1-t).^2.*t.*P2(2,:) + 3*(1-t).*t.^2.*P2(3,:) + t.^3.*P2(4,:);

% 绘图
figure;
hold on;
plot([P1(:,1); P2(2:end,1)], [P1(:,2); P2(2:end,2)], 'ro-'); % 控制多边形
plot(B1(:,1), B1(:,2), 'b-', 'LineWidth', 2); % 第一段
plot(B2(:,1), B2(:,2), 'g-', 'LineWidth', 2); % 第二段
title('C1连续的分段贝塞尔曲线');
legend('控制多边形', '第一段', '第二段');
grid on;
axis equal;

运行结果：