arcsin x

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✅ 一、导数公式

$$\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\text{定义域 }x\in (-1,1)$$

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✅ 二、泰勒展开式（Taylor Expansion）

函数 $\arcsin x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开为：

$$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1},|x|\le 1$$

也可以写出前几项：

$$\arcsin x=x+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{3}{40}{x}^5+\frac{5}{112}{x}^7+\frac{35}{1152}{x}^9+\cdots$$

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✅ 三、简要推导（可选）

该级数来自于：

$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)\frac{x^{2n}}{4^n}$$

对它逐项积分就得到 $\arcsin x$ 的泰勒级数。

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如果你还想要 $\arcsin x$ 的渐近展开、误差估计或者在特定点（如 $x=\frac{1}{2}$）的逼近结果，我也可以继续给出。需要吗？