线性代数导引：欧几里得空间

1. 背景介绍

线性代数作为计算机科学的基石之一，对人工智能、数据科学、计算机图形学等多个领域都有着深远的影响。本篇博客文章将从欧几里得空间的定义入手，逐步深入讲解线性代数中的核心概念和原理，并结合实际应用场景，展示其强大的计算能力和广泛的适用性。

1.1 线性代数与欧几里得空间

线性代数主要研究线性方程组、向量空间、矩阵等数学工具，以及它们在解决实际问题中的应用。其中，欧几里得空间是线性代数中最为基础和重要的概念，用于描述几何学和分析学中的问题。欧几里得空间中的向量、矩阵和线性变换等概念，被广泛应用于计算机视觉、信号处理、机器学习等领域。

1.2 核心概念与联系

在开始深入探讨之前，我们先来梳理一下线性代数中的一些核心概念及其之间的联系。

• 向量：在n维空间中，向量是一个n元有序数组，可以表示空间中的方向和大小。
• 矩阵：由向量组成的数组，具有线性变换的功能，可以表示几何变换、数据表示等。
• 线性变换：通过矩阵乘法，将一个向量空间映射到另一个向量空间的过程。
• 内积与外积：内积和外积是向量之间的两种基本运算，分别表示向量之