数据结构 图（Graph）

数据结构 图（Graph）

1. 图介绍

• 在数据结构中，图 Graph是一种非常重要的数据结构，用于表示不同的对象（主要是节点与边）之间的关系。

• 图由节点V（顶点）（Vertex）和边E（Edge）组成，即有Graph={∑V+∑E}，节点表示图中的元素，而边表示节点之间的关系。图可以用于建模各种实际问题，如社交网络中的用户关系、计算机网络中的路由、地图中的道路网络等。

• 图可以分为有向图DAG和无向图G两种类型。在有向图中，边有方向，表示从一个节点到另一个节点的单向关系；而在无向图中，边没有方向，表示节点之间的双向关系。

• 图还可以根据边的权重分为带权图和无权图。带权图中，每条边都有一个相关联的权重或成本W（Weight），此时Graph={∑V+∑E+∑W}，而在无权图中，所有边的权重都是相同的（1或者常数），或者没有权重。

• 图的常见操作包括添加节点、添加边、删除节点、删除边、查找节点、查找边等。图的遍历算法包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS），用于遍历图中的所有节点。

• 入度和出度，入度表示有多少条边指向特定的节点，而出度表示从特定的节点出发一共有多少边指向其他节点。

2. 图分类

2.1 按有无方向划分

2.1.1 有向图

• 有向图无环（DAG）的性质：
• DAG是一个有向图，其中边有方向，表示从一个节点到另一个节点的单向关系。
• DAG 不包含任何环路，即不存在从某个节点出发经过若干条边回到该节点的路径。因此，DAG 的结构是一个有向无环的图。
• DAG 可以用来表示一些具有前后关系的任务或事件，如任务调度、依赖关系等。例如，编译过程中的源文件依赖关系就可以用 DAG 来表示。
• 由于没有环路，DAG 中不存在循环依赖的问题，因此可以进行拓扑排序等操作。
• 

2.1.2 无向图

• 无向图（G）的性质：
• 无向图中的边没有方向，表示节点之间的双向关系，即任意两个节点之间都可以互相到达。
• 无向图可以有环路，即存在一条路径可以从某个节点出发经过若干条边回到该节点。
• 无向图通常用来表示不考虑方向的关系，如社交网络中的好友关系、交通网络中的道路连接等。
• 无向图中的边是对称的，即如果节点 A 与节点 B 之间有一条边，那么节点 B 与节点 A 之间也有一条边。
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2.1.3 图的存储方式

图主要以邻接表和邻接矩阵作为存储媒介进行存储。

2.1.3.1 邻接表

• 邻接表是一种基于链表的数据结构，用于表示图的结构。
  对于每个节点，邻接表存储其相邻节点的列表。通常是通过数组和链表的组合来实现，其中数组的索引表示节点，而每个数组元素是一个链表，存储与该节点相邻的节点。
  邻接表适用于稀疏图，即节点数相对边数较少的图，因为它只存储实际存在的边，节省了空间。

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2.1.3.2 邻接矩阵

• 邻接矩阵是一个二维数组，用于表示图的结构。
  对于具有 n 个节点的图，邻接矩阵是一个 n × n 的矩阵，其中行和列分别表示节点，矩阵的元素表示节点之间是否有边相连。
  如果图是有向图，邻接矩阵中的元素可以是 0 或 1，表示没有边或有边；如果图是带权图，邻接矩阵中的元素可以是实际的权重值W。
  邻接矩阵适用于稠密图，即节点数和边数相对较多的图，因为它提供了 O(1) 时间复杂度的边查找操作，但是占用了更多的空间。

2.2 按权重划分

2.2.1 带权图

• 带权图是指图中的边携带有权重或者相关的数值信息。

• 在带权图中，每条边都与一个权重值相关联，表示边的强度、长度、成本等。

• 带权图常用于建模一些实际问题，如最短路径问题、列车调度问题、哥尼斯堡的“七桥问题”等。

• 带权图也可以是无向图或有向图，无向带权图表示节点之间的双向关系并携带权重，有向带权图表示单向关系并携带权重。

  

2.2.2 无权图

• 不带权图是指图中的边没有权重或者没有相关的数值信息。

• 在不带权图中，边只表示节点之间的连接关系，而不包含额外的信息。

• 无向图和有向图都可以是不带权图，其中无向图的边表示节点之间的双向关系，而有向图的边表示单向关系。

3. 图常见操作

3.1 添加节点（顶点）

用于向图中添加新的节点。

#include 
#include 

#define MAX_VERTICES 100 // 假设最大节点数量为100

// 图的结构体定义
typedef struct {
   
    int numVertices; // 节点数量
    int adjMatrix[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES]; // 邻接矩阵表示图的连接关系
} Graph;

// 初始化图
void initializeGraph(Graph *graph) {
   
    int i, j;
    graph->numVertices = 0;
    for (i = 0; i < MAX_VERTICES; i++) {
   
        for (j = 0; j < MAX_VERTICES; j++) {
   
            graph->adjMatrix[i][j] = 0; // 初始化邻接矩阵，表示节点间没有边相连
        }
    }
}

// 向图中添加新节点
void addVertex(Graph *graph) {
   
    if (graph->numVertices < MAX_VERTICES) {
   
        // 新节点的索引即为当前节点数量
        graph->numVertices++;
    } else {
   
        printf("图中节点数量已达到最大值，无法添加新节点。\n");
    }
}

int main() {
   
    Graph graph;
    initializeGraph(&graph);

    // 添加三个节点
    addVertex(&graph);
    addVertex(&graph);
    addVertex(&graph);

    printf("图中当前节点数量：%d\n", graph.numVertices);

    return 0;
}

3.2 删除节点

从图中删除指定的节点，以及与该节点相关联的边。

#include 
#include 

#define MAX_VERTICES 100 // 假设最大节点数量为100

// 图的结构体定义
typedef struct {
   
    int numVertices; // 节点数量
    int adjMatrix[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES]; // 邻接矩阵表示图的连接关系
} Graph;

// 初始化图
void initializeGraph(Graph *graph) {
   
    int i, j;
    graph->numVertices = 0;
    for (i = 0; i < MAX_VERTICES; i++) {
   
        for (j = 0; j < MAX_VERTICES; j++) {
   
            graph->adjMatrix[i][j] = 0; // 初始化邻接矩阵，表示节点间没有边相连
        }
    }
}

// 向图中添加新节点
void addVertex(Graph *graph) {
   
    if (graph->numVertices < MAX_VERTICES) {
   
        // 新节点的索引即为当前节点数量
        graph->numVertices++;
    } else {
   
        printf("图中节点数量已达到最大值，无法添加新节点。\n");
    }
}

// 从图中删除节点及其相关联的边
void removeVertex(Graph *graph, int vertex) {
   
    if (vertex >= 0 && vertex < graph->numVertices) {
   
        int i, j;

        // 从邻接矩阵中删除相关联的边
        for (i = 0; i < graph->numVertices; i++) {
   
            graph->adjMatrix[vertex][i] = 0; // 删除与该节点相关联的出边
            graph->adjMatrix[i][vertex] = 0; // 删除与该节点相关联的入边
        }

        // 将该节点从图中删除
        for (i = vertex; i < graph->numVertices - 1; i++) {
   
            for (j = 0; j < graph->numVertices; j++) {
   
                graph->adjMatrix[j][i] = graph->adjMatrix[j][i + 1]; // 将后面的节点向前移动
            }
        }
        for (i = vertex; i < graph->numVertices - 1; i++) {
   
            for (j = 0; j < graph->numVertices; j++) {
   
                graph->adjMatrix[i][j] = graph->adjMatrix[i + 1][j]; // 将后面的节点向前移动
            }
        }

        graph->numVertices--; // 更新节点数量
    } else {
   
        printf("要删除的节点不存在。\n");
    }
}

int main() {
   
    Graph graph;
    initializeGraph(&graph);

    // 添加四个节点
    addVertex(&graph);
    addVertex(&graph);
    addVertex(&graph);
    addVertex(&graph);

    // 添加一些边
    graph.adjMatrix[0][1] = 1; // 添加从节点0到节点1的边
    graph.adjMatrix[1][2] = 1; // 添加从节点1到节点2的边
    graph.adjMatrix[2][3] = 1; // 添加从节点2到节点3的边

    printf("删除前，图中当前节点数量：%d\n", graph.numVertices);

    // 删除节点2及其相关联的边
    removeVertex(&graph, 2);

    printf("删除后，图中当前节点数量：%d\n", graph.numVertices);

    return 0;
}

3.3 添加边

在图中添加一条边，连接两个节点。

#include 
#include 

#define MAX_VERTICES 100 // 假设最大节点数量为100

// 图的结构体定义
typedef struct {
   
    int numVertices; // 节点数量
    int numEdges;    // 边的数量
    int adjMatrix[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES]; // 邻接矩阵表示图的连接关系
} Graph;

// 初始化图
void initializeGraph(Graph *graph) {
   
    int i, j;
    graph->numVertices = 0;
    graph->numEdges = 0;
    for (i = 0; i < MAX_VERTICES; i++) {
   
        for (j = 0; j < MAX_VERTICES; j++) {
   
            graph->adjMatrix[i][j] = 0; // 初始化邻接矩阵，表示节点间没有边相连
        }
    }
}

// 向图中添加新节点
void addVertex(Graph *graph) {
   
    if (graph->numVertices < MAX_VERTICES) {
   
        // 新节点的索引即为当前节点数量
        graph->numVertices++;
    } else {
   
        printf("图中节点数量已达到最大值，无法添加新节点。\n");
    }
}

// 在图中添加一条边，连接两个节点
void addEdge(Graph *graph, int source, int destination) {
   
    if (source >= 0 && source < graph->numVertices && destination >= 0 && destination < graph->numVertices) {
   
        // 添加边将邻接矩阵中对应位置设为1
        graph->adjMatrix[source][destination] = 1;
        // 如果是无向图，还需添加反向边
        graph->adjMatrix[destination]