pku2299 Ultra-QuickSort

题目意思是求一个序列的逆序数，朴素的做法时间复杂度是O(n^2)，其中 n < 500,000 ，结果不用说肯定是超时的；于是思路转向了O(nlogn)的算法，换言之离不开二分、树型结构等方法
这里用到的是杨挺的PDF《树状数组和线段树》里提到的方法：巧妙地将问题转化成类似求RMQ的问题，然后通过树状树组解决

1，将序列离散化，即序列内第k小的元素变成k，注意到题目已说明序列内无相同元素；离散化可通过排序和二分查找解决
2，将b[]初始化为0，遍历离散化后的序列a[1～n]，每当向树状数组c[]插入a[i]前，根据c[]用O(logn)的时间求b[1]～b[a[i]]的和，即求得比a[i]先插入且比a[i]小的元素个数（放到序列上理解，就是排在a[i]前面且比a[i]小的元素个数），换算后可得比a[i]先插入且比a[i]大的元素个数，在遍历过程中将其累加到ans，即为答案
3，更新ans后置b[a[i]]为1，同时更新c[]的值（对c[]插入a[i]）

排序和统计的复杂度都为O(nlogn)，所以算法总复杂度是O(nlogn)

 

 

#include  < iostream >
#include  < algorithm >
using   namespace  std;

#define  MAXN 500005
#define  clr(x) memset(x,0,sizeof(x))

int  a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN],n;
__int64 ans;

int  find( int  x){
     int  l = 1 ,r = n,m;
     while (r >= l){
        m = (l + r) / 2 ;
         if (x < b[m])
            r = m - 1 ;
         else   if (x > b[m])
            l = m + 1 ;
         else
             return  m;
    }
     return   - 1 ;
}

void  discretization(){
     int  i,t;
     for (i = 1 ;i <= n;i ++ ){
        t = find(a[i]);
        a[i] = t;
    }
}

inline  int  lowbit( int  x){
     return  x & ( - x);
}

int  sum( int  k){ // 求sum(b[1]～b[k])
     int  i,res = 0 ;
     for (i = k;i > 0 ;i -= lowbit(i))
        res += c[i];
     return  res;
}

void  improve( int  k){ // 插入a[i]后b[a[i]]的值有修改
     int  i;
         // 若对b[k]有修改，设影响到了c[p1]、c[p2]、 ，则p1=k，pi+1=pi + lowbit(pi)
     for (i = k;i <= n;i += lowbit(i))
        c[i] ++ ;
}



void  build(){ // 建立树状数组c[]
    clr(b);
    clr(c);
     int  i,k;
     for (i = 1 ;i <= n;i ++ ){
        k = a[i];
        ans += i - sum(k) - 1 ;
        b[k] = 1 ;
        improve(k);
    }
}

int  main(){
     int  i;
     while (scanf( " %d " , & n)  &&  n){
         for (i = 1 ;i <= n;i ++ ){
            scanf( " %d " ,a + i);
            b[i] = a[i];
        }
        sort(b + 1 ,b + n + 1 );
        discretization(); // 离散化
        ans = 0 ;
        build();
        printf( " %I64d\n " ,ans);
    }
     return   0 ;
}

 

另附合并排序求逆序数代码:

 

#include  < iostream >
#include  < algorithm >
using   namespace  std;

#define  MAXN 500001

int  a[MAXN],t[MAXN],n;
__int64 ans;

void  Merge( int  l, int  m, int  r){
     int  i = 0 ,j = l,k = m + 1 ;
     while (j <= m  &&  k <= r){
         if (a[j] > a[k]){
            t[i ++ ] = a[k ++ ];
            ans += m - j + 1 ;
        }
         else
            t[i ++ ] = a[j ++ ];
    }
     while (j <= m)
        t[i ++ ] = a[j ++ ];
     while (k <= r)
        t[i ++ ] = a[k ++ ];
     for (j = 0 ;j < i;j ++ ){
        a[l + j] = t[j];
    }
}


void  Mergesort( int  l, int  r){
     if (l < r){
         int  m = (l + r) / 2 ;
        Mergesort(l,m);
        Mergesort(m + 1 ,r);
        Merge(l,m,r);
    }
}


int  main(){
     int  i;
     while (scanf( " %d " , & n)  &&  n){
        ans = 0 ;
         for (i = 0 ;i < n;i ++ )
            scanf( " %d " ,a + i);
        Mergesort( 0 ,n - 1 );
        printf( " %I64d\n " ,ans);
    }
     return   0 ;
}