1.2 频率与概率

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频率

是指每个对象出现的次数与总次数的比值

比如扔硬币5次，3次是正面的频率 = $\frac{3}{5}$=0.6

概率

定义

概率是随机事件发生的可能性大小的度量，表示为P(A)。它是一个介于0到1之间的实数，其中P(A)表示事件A发生的概率‌

集合函数P()有三条公理：

1. 非负性：P(A)≥0
2. 规范性： 对于Ω，P(Ω)=1
3. 可加性：A₁， A₂，…， A_n两两互不相容
   P($\sum _{i=1}^{\infty }$A_i） = $\sum _{i=1}^{\infty }$P(A_i)

性质

1. P(∅)=0，反之不成立；P(A)=0 ≠> A=∅ 概率为0的事件也有可能发生

2. 有限可加：A₁，…， A_n两两互不相容： P($\sum _{i=1}^n$A_i) = $\sum _{i=1}^n$P(A_i)
   A,B互不相容 => P(A+B) = P(A)+P(B)
   反之，P(A+B) = P(A)+P(B) - P(AB) => P(AB) = 0 ≠> AB = ∅

3. P($\overline{A}$) = 1-P(A)         P(A) + P($\overline{A}$) =1

4. B ⊂ A => P(A-B) = P(A) - P(B) 且 P(A) ≥ P(B)
   推广：对任意事件都有 P(A-B) = P(A) - P(AB)

5. P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB)
   A∪B = A ∪ (B - AB)         P(A∪B) = P(A) + P(B - AB)

   P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C ) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)

   A,B互不相容 => P(AB) = P(∅) =0

例题

已知 P($\overline{A}$) = 0.5     P($\overline{A}$B) =0.3    P(B) = 0.4 求：
(1) P(AB) ; (2) P(A - B) ; (3) P(AUB)
解:
(1) P($\overline{A}$B) = P(B$\overline{A}$) = P(B) -P(AB) = 0.3 ,则P(AB) = 0.4-0.3 = 0.1
(2) P(A - B) = P(A) - P(AB) = 0.5-0.1 = 0.4
(3) P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.5+0.4-0.1 = 0.8

观看笔记来源：概率论与数理统计-宋浩老师