如何计算复指数 $i^{-2i}$

如何计算复指数 $i^{-2i}$

复指数计算是复分析中的一个重要内容。下面我们详细解析 $i^{-2i}$ 的计算方法。

关键步骤

1. 表达复数 $i$ 的指数形式
   根据欧拉公式，复数 $i$ 可以表示为：
   $$i=e^{i\frac{\pi }{2}}$$

2. 应用对数恒等式
   对于任意复数 $z\ne 0$ 和 $w$，复指数的定义为：
   $$z^w=e^{w\ln z}$$
   这里我们取对数的主分支，因此：
   $$i^{-2i}=e^{-2i\ln i}$$

3. 计算 $\ln i$
   由于 $i=e^{i\frac{\pi }{2}}$，其对数的主值为：
   $$\ln i=i\frac{\pi }{2}$$

4. 代入计算
   将 $\ln i$ 代入表达式：
   $$i^{-2i}=e^{-2i\cdot \left(i\frac{\pi }{2}\right)}=e^{-2i^2\frac{\pi }{2}}=e^{\pi }$$
   因为 $i^2=-1$，所以最终结果为 $e^{\pi }$。

结论

$$i^{-2i}=e^{\pi }\approx 23.1407$$
matlab计算结果：

这个结果展示了复指数运算如何产生实数结果的有趣现象。