探索 HIV 传播动力学：基于偏好混合模型的 MATLAB 仿真与分析

在传染病建模的世界里，每一行代码都像是微观世界的望远镜，让我们得以窥见疾病传播的复杂机制。今天，我们将深入探讨一个融合了数学、生物学和编程的有趣项目 —— 用 MATLAB 实现的 HIV 传播偏好混合模型。这个模型不仅能帮助我们理解 HIV 在不同人群中的传播规律，还能为公共卫生政策的制定提供重要参考。让我们一起踏上这段充满科学魅力的探索之旅吧～

一、HIV 传播模型的背景与意义

艾滋病（AIDS）自 20 世纪 80 年代被发现以来，已成为全球公共卫生领域的重大挑战。截至 2023 年，全球约有 3840 万 HIV 感染者，每年仍有近 150 万新发病例。理解 HIV 的传播动力学，对于制定有效的防控策略至关重要。

传统的 HIV 传播模型往往假设人群是完全混合的，即每个人与其他任何人接触的概率相等。但现实中，人群往往呈现出 "偏好混合"（preferential mixing）的特征 —— 人们更倾向于与同群体内的个体发生接触。例如，在 HIV 传播中，吸毒人群、性工作者群体与普通人群之间的接触模式存在显著差异，这种差异对病毒的传播轨迹有着深远影响。

我们今天要解析的模型正是基于这种 "偏好混合" 理论，将人群分为两个子群体，通过数学建模和计算机仿真，揭示 HIV 在异质人群中的传播规律。这个模型就像一把精密的手术刀，帮助我们剖开复杂的传播网络，看到隐藏在背后的动力学机制～

二、数学模型：从生物学现象到微分方程

2.1 群体划分与偏好混合参数

模型将总人口分为两个子群体：群体 1 和群体 2。假设群体 1 的规模为 N1=10000，群体 2 为 N2=90000，这种规模差异可能反映了高危人群与普通人群的比例。每个群体内的个体具有不同的接触率（c1=2，c2=1），表示单位时间内的平均接触次数。

偏好混合通过参数 ρ1 和 ρ2 来描述，它们代表群体内接触的偏好程度。当 ρ=0.9 时，意味着群体内 90% 的接触发生在同群体内部，只有 10% 的接触发生在跨群体之间。这一设定更贴近现实中人群的社交结构 —— 我们大多数的社交互动确实发生在同质性较高的群体内部～

2.2 偏好混合参数的计算

模型中的核心函数calcpref负责计算四个关键的混合参数 p11、p12、p21、p22：

function [p11, p12, p21, p22] = calcpref(c1, c2, N1, N2, rho1, rho2)
    p11 = rho1 + (1 - rho1) * (c1 * (1 - rho1) * N1) / (c1 * (1 - rho1) * N1 + c2 * (1 - rho2) * N2);
    p22 = rho2 + (1 - rho2) * (c2 * (1 - rho2) * N2) / (c1 * (1 - rho1) * N1 + c2 * (1 - rho2) * N2);
    p12 = (1 - rho1) * (c2 * (1 - rho2) * N2) / (c1 * (1 - rho1) * N1 + c2 * (1 - rho2) * N2);
    p21 = (1 - rho2) * (c1 * (1 - rho1) * N1) / (c1 * (1 - rho1) * N1 + c2 * (1 - rho2) * N2);
end

这些参数的含义是：

• p11：群体 1 个体与群体 1 感染者接触的概率
• p12：群体 1 个体与群体 2 感染者接触的概率
• p21：群体 2 个体与群体 1 感染者接触的概率
• p22：群体 2 个体与群体 2 感染者接触的概率

计算逻辑可以理解为：群体内偏好接触（ρ 部分）与跨群体随机接触（1-ρ 部分）的加权和。分母部分实际上是两个群体跨群体接触的总 "潜力"，通过接触率、群体规模和非偏好比例的乘积来衡量。这个计算过程就像在编织一张复杂的接触网络，每个参数都是网络中不可或缺的连接点～

2.3 微分方程模型：HIV 传播的数学刻画

模型采用常微分方程（ODE）描述两个群体中易感者（S）和感染者（I）的动态变化：

function dydt = hiv_ode(t, y, parms)
    % 解包参数
    p11 = parms.p11; p12 = parms.p12; p21 = parms.p21; p22 = parms.p22;
    beta = parms.beta; c1 = parms.c1; c2 = parms.c2;
    gamma = parms.gamma; mu = parms.mu; lambd1 = parms.lambd1; lambd2 = parms.lambd2;
    
    % 解包状态变量
    S1 = y(1); I1 = y(2); S2 = y(3); I2 = y(4);
    
    % 计算总人数
    N1 = S1 + I1;
    N2 = S2 + I2;
    
    % ODE方程
    dS1 = lambd1 - beta * c1 * p11 * (I1 / max(N1, eps)) * S1 - beta * c1 * p12 * (I2 / max(N2, eps)) * S1 - mu * S1;
    dI1 = beta * c1 * p11 * (I1 / max(N1, eps)) * S1 + beta * c1 * p12 * (I2 / max(N2, eps)) * S1 - gamma * I1 - mu * I1;
    dS2 = lambd2 - beta * c2 * p21 * (I1 / max(N1, eps)) * S2 - beta * c2 * p22 * (I2 / max(N2, eps)) * S2 - mu * S2;
    dI2 = beta * c2 * p21 * (I1 / max(N1, eps)) * S2 + beta * c2 * p22 * (I2 / max(N2, eps)) * S2 - gamma * I2 - mu * I2;
    
    dydt = [dS1; dI1; dS2; dI2];
end

让我们逐部分解析这些方程的生物学意义：

2.3.1 人口动态项

• lambd1和lambd2：两个群体的人口补充率，模型中设定为10000/(70*52)和90000/(70*52)，表示每年按总人口 1/70 的比例更新（假设平均寿命 70 年，每周更新一次）。
• mu：人口死亡率，1/(70*52)，与补充率平衡，保持总人口稳定。

这部分体现了人口的自然更替过程，就像一条不断流动的河流，既有新的水滴汇入，也有旧的水滴蒸发～

2.3.2 感染传播项

• beta：传播效率参数（0.01），表示每次有效接触导致感染的概率。
• c1和c2：接触率，与偏好混合参数 p 结合，计算实际的感染接触概率。
• (I1/N1)和(I2/N2)：群体内的感染率，反映易感者接触到感染者的概率。

感染项的核心逻辑是：易感者感染速度 = 接触率 × 混合概率 × 感染率 × 易感者数量。这就像在计算 "危险接触" 的发生频率，每一次易感者与感染者的有效接触都可能成为病毒传播的契机～

2.3.3 疾病进展与清除项

• gamma：1/520，表示平均感染期为 520 周（约 10 年），这与 HIV 的自然病程相符 —— 未经治疗的 HIV 感染者通常在 10 年左右发展为艾滋病。

这个参数刻画了 HIV 感染的慢性特征，与流感等急性传染病不同，HIV 就像一个潜伏的 "沉默杀手"，在体内缓慢进展～

三、代码实现：从数学模型到计算机仿真

3.1 主程序架构

整个模型的实现采用了 MATLAB 的函数式编程风格，主函数hiv_model_dr包含了参数计算、模型定义、数值求解和结果可视化的完整流程。这种模块化的设计让代码结构清晰，便于理解和修改～

3.2 参数设置与物理意义

模型中的参数设置蕴含着丰富的生物学含义：

parms = struct(...
    'p11', p11, 'p12', p12, 'p21', p21, 'p22', p22, ...
    'beta', 0.01, 'c1', 2, 'c2', 1, ...
    'gamma', 1/520, 'mu', 1/(70*52), ...
    'lambd1', 10000/(70*52), 'lambd2', 90000/(70*52) ...
);

• 接触率差异：c1=2，c2=1，表明群体 1 的社交活跃度是群体 2 的两倍，这可能对应高危人群更频繁的社交接触。
• 感染周期：gamma=1/520，意味着感染者平均 10 年（520 周）后进入艾滋病阶段，符合临床观察。
• 人口结构：lambd1 和 lambd2 的设置使群体 1 和群体 2 的总人口保持 10000 和 90000 的稳定规模。

这些参数的选择不是随意的，而是基于 HIV 流行病学的实际数据，让模型尽可能贴近真实世界的传播情况～

3.3 数值求解与时间尺度

模型使用 MATLAB 的ode45求解器对微分方程进行数值求解，这是一种基于 Runge-Kutta 方法的自适应步长求解器，能够在保证精度的同时高效计算。

时间跨度设置为0:1:40*52，即 40 年，每周一个时间点。这样的设置有两个考虑：

1. HIV 的长期慢性病程需要足够长的时间跨度来观察传播动态
2. 每周的时间步长平衡了计算效率和结果精度

初始条件y0 = [999; 1; 9000; 0]表示：

• 群体 1：999 个易感者，1 个感染者
• 群体 2：9000 个易感者，0 个感染者

这个初始状态模拟了 HIV 在高危群体（群体 1）中已经出现少量感染，而普通群体（群体 2）尚未被感染的情况，这与 HIV 流行初期的实际情况相符～

四、结果分析：从仿真曲线到传播规律

4.1 可视化结果解读

运行代码后，我们得到了四个群体状态变量随时间变化的曲线：

figure;
plot(t, S1, 'b', 'LineWidth', 2); hold on;
plot(t, I1, 'r', 'LineWidth', 2);
plot(t, S2, 'g', 'LineWidth', 2);
plot(t, I2, 'm', 'LineWidth', 2);
hold off;

xlabel('Time (weeks)');
ylabel('Number of Individuals');
title('HIV Model with Preferential Mixing');
legend('S1', 'I1', 'S2', 'I2', 'Location', 'best');
grid on;

 

图像中蓝色（S1）和绿色（S2）曲线代表两个群体的易感者数量，红色（I1）和紫色（I2）代表感染者数量。从曲线走势中，我们可以观察到几个关键现象：

1. 群体 1 的快速传播：I1 曲线在初期迅速上升，反映了高危群体内 HIV 的快速传播。这是因为群体 1 的接触率更高（c1=2），且初始就有感染者存在。

2. 群体 2 的滞后感染：I2 曲线在一段时间后才开始上升，说明 HIV 从高危群体向普通群体的传播存在延迟。这正是偏好混合模型的重要特征 —— 跨群体传播需要一定时间～

3. 易感者的持续补充：S1 和 S2 曲线没有下降到零，而是在某个水平保持稳定，这是因为模型中考虑了人口的持续补充（lambd1 和 lambd2），形成了易感者的 "来源池"。

4. 长期平衡状态：经过约 1000 周（近 20 年）后，各群体的感染人数趋于稳定，形成动态平衡。这表明在没有干预的情况下，HIV 传播会达到一个稳定的流行水平～

4.2 偏好混合的影响分析

为了更直观地理解偏好混合参数的影响，我们可以做一个对比实验：将 ρ1 和 ρ2 从 0.9 降低到 0.5，即减少群体内偏好，增加跨群体混合。我们会观察到什么变化呢？

思考一下：当群体间混合更加频繁时，HIV 传播会更快还是更慢？

答案是：传播会更快！因为跨群体接触增加后，病毒更容易从高危群体扩散到普通群体，导致 I2 曲线的上升时间提前，最终平衡时的感染人数也会更高。这说明减少群体隔离（无论是主动还是被动）可能加速传染病的传播，这对公共卫生政策有重要启示～

4.3 关键参数敏感性分析

4.3.1 传播效率 β 的影响

如果将 β 从 0.01 提高到 0.02，即感染概率翻倍，会发生什么？

• I1 和 I2 的上升速度显著加快
• 达到平衡时的感染人数更高
• 易感者数量下降更快

这提醒我们，降低传播效率（如通过安全套使用、清洁针具交换等措施）是控制 HIV 传播的关键～

4.3.2 接触率 c 的影响

提高群体 1 的接触率 c1 到 3，群体 2 保持 c2=1：

• 群体 1 内的传播速度明显加快
• 跨群体传播的 "压力" 增大，I2 上升时间提前
• 最终平衡时，两个群体的感染人数都有所增加

这说明高危群体的社交活跃度是 HIV 传播的重要驱动因素，针对这类群体的干预措施（如健康教育、行为干预）可能产生显著效果～

4.3.3 感染清除率 γ 的影响

如果医学进步使 γ 从 1/520 提高到 1/260，即感染期缩短到 5 年：

• 感染者的平均存活时间缩短
• 每个感染者的总传染期减少，导致基本再生数 R0 下降
• 最终平衡时的感染人数显著减少

这表明，加快治疗速度（如提高抗病毒治疗覆盖率）可以有效降低 HIV 的流行水平～

五、模型的应用价值与局限性

5.1 对公共卫生政策的启示

这个偏好混合模型为 HIV 防控提供了重要的理论支持：

1. 靶向干预策略：由于高危群体（群体 1）是传播的 "核心枢纽"，优先对其进行干预（如增加安全套供应、推广暴露前预防 PrEP）可以显著降低整体传播速度～

2. 群体混合管理：理解不同群体间的接触模式，有助于设计更有效的社交距离措施，在不全面封锁的情况下切断关键传播链～

3. 资源分配决策：模型可以模拟不同干预措施的成本效益，帮助公共卫生部门优化资源分配，将有限的资源投入到最有效的干预手段上～

5.2 模型的局限性与改进方向

尽管模型已经捕捉到了 HIV 传播的一些关键特征，但仍有许多简化假设：

1. 群体划分的简化：现实中人群结构远比两个群体复杂，可能需要考虑更多子群体（如不同年龄、性别、风险行为群体）～

2. 未考虑治疗因素：模型中没有纳入抗病毒治疗的影响，而现实中 ART 治疗已成为 HIV 防控的关键手段～

3. 静态接触模式：假设接触率和混合模式不随时间变化，而实际上人们的行为可能因疫情发展而改变（如风险规避行为）～

4. 未考虑垂直传播：模型没有包含母婴传播途径，这在 HIV 传播中也是一个重要因素～

未来可以从以下方向改进模型：

• 加入治疗模块，模拟 ART 治疗对传播的影响
• 引入动态接触网络，考虑社交行为的变化
• 细分更多人群子群体，提高模型的分辨率
• 加入疫苗接种或其他干预措施的模拟模块

六、拓展思考：从 HIV 模型到传染病建模的普适方法

这个 HIV 偏好混合模型展示了传染病建模的一般方法论，这些方法可以应用于其他传染病的研究：

1. 群体划分思想：将异质人群划分为不同子群体，是处理复杂传播网络的有效手段，适用于流感、结核病等多种传染病～

2. 微分方程建模：ODE 模型是传染病动力学的基础工具，通过设置不同的状态变量（S、I、R 等）可以构建各种复杂模型～

3. 参数敏感性分析：通过改变关键参数观察结果变化，是理解疾病传播驱动因素的重要方法～

4. 计算仿真验证：利用计算机仿真技术，可以在虚拟环境中测试各种干预策略，为现实中的政策制定提供预演～

传染病建模就像一个 "数字实验室"，让我们能够在不干预真实世界的情况下，探索疾病传播的规律和干预措施的效果。这种 "干实验" 与真实世界的 "湿实验" 相互补充，共同推动着公共卫生科学的发展～

七、结语：代码中的生命奥秘

当我们敲击键盘运行这段 HIV 模型代码时，屏幕上跳动的曲线不仅仅是数学符号的集合，而是千万生命的动态缩影。每一个参数背后，都是真实世界中 HIV 感染者的生存状态；每一条曲线的起伏，都在诉说着病毒与宿主之间的博弈故事～

这个模型让我们看到，数学和计算机不仅能处理抽象的数字，更能成为理解生命现象的强大工具。通过构建和分析这样的模型，我们离最终战胜 HIV 又近了一步～

如果你对这个模型感兴趣，不妨尝试修改参数，看看不同的干预措施会产生怎样的效果；或者扩展模型，加入更多现实因素。在代码的世界里，科学探索的边界永无止境～

让我们一起，用代码解读生命的奥秘，用模型照亮疾病防控的道路～

完整代码（省流版） 

 

function hiv_model_dr()
    % 主函数，模拟HIV模型并绘图
    
    % 计算偏好混合参数
    function [p11, p12, p21, p22] = calcpref(c1, c2, N1, N2, rho1, rho2)
        % 计算偏好混合参数
        p11 = rho1 + (1 - rho1) * (c1 * (1 - rho1) * N1) / (c1 * (1 - rho1) * N1 + c2 * (1 - rho2) * N2);
        p22 = rho2 + (1 - rho2) * (c2 * (1 - rho2) * N2) / (c1 * (1 - rho1) * N1 + c2 * (1 - rho2) * N2);
        p12 = (1 - rho1) * (c2 * (1 - rho2) * N2) / (c1 * (1 - rho1) * N1 + c2 * (1 - rho2) * N2);
        p21 = (1 - rho2) * (c1 * (1 - rho1) * N1) / (c1 * (1 - rho1) * N1 + c2 * (1 - rho2) * N2);
    end

    % HIV模型ODE函数
    function dydt = hiv_ode(t, y, parms)
        % 解包参数
        p11 = parms.p11; p12 = parms.p12; p21 = parms.p21; p22 = parms.p22;
        beta = parms.beta; c1 = parms.c1; c2 = parms.c2;
        gamma = parms.gamma; mu = parms.mu; lambd1 = parms.lambd1; lambd2 = parms.lambd2;
        
        % 解包状态变量
        S1 = y(1); I1 = y(2); S2 = y(3); I2 = y(4);
        
        % 计算总人数
        N1 = S1 + I1;
        N2 = S2 + I2;
        
        % ODE方程
        dS1 = lambd1 - beta * c1 * p11 * (I1 / max(N1, eps)) * S1 - beta * c1 * p12 * (I2 / max(N2, eps)) * S1 - mu * S1;
        dI1 = beta * c1 * p11 * (I1 / max(N1, eps)) * S1 + beta * c1 * p12 * (I2 / max(N2, eps)) * S1 - gamma * I1 - mu * I1;
        dS2 = lambd2 - beta * c2 * p21 * (I1 / max(N1, eps)) * S2 - beta * c2 * p22 * (I2 / max(N2, eps)) * S2 - mu * S2;
        dI2 = beta * c2 * p21 * (I1 / max(N1, eps)) * S2 + beta * c2 * p22 * (I2 / max(N2, eps)) * S2 - gamma * I2 - mu * I2;
        
        dydt = [dS1; dI1; dS2; dI2];
    end

    % 主程序
    % 计算偏好混合参数
    [p11, p12, p21, p22] = calcpref(2, 1, 10000, 90000, 0.9, 0.9);
    
    % 设置模型参数
    parms = struct(...
        'p11', p11, 'p12', p12, 'p21', p21, 'p22', p22, ...
        'beta', 0.01, 'c1', 2, 'c2', 1, ...
        'gamma', 1/520, 'mu', 1/(70*52), ...
        'lambd1', 10000/(70*52), 'lambd2', 90000/(70*52) ...
    );
    
    % 设置时间范围和初始条件
    tspan = 0:1:40*52; % 40年，每周一个时间点
    y0 = [999; 1; 9000; 0]; % 初始条件 [S1, I1, S2, I2]
    
    % 使用ode45求解ODE
    [t, y] = ode45(@(t,y) hiv_ode(t, y, parms), tspan, y0);
    
    % 提取结果
    S1 = y(:,1); I1 = y(:,2); S2 = y(:,3); I2 = y(:,4);
    
    % 绘制结果
    figure;
    plot(t, S1, 'b', 'LineWidth', 2); hold on;
    plot(t, I1, 'r', 'LineWidth', 2);
    plot(t, S2, 'g', 'LineWidth', 2);
    plot(t, I2, 'm', 'LineWidth', 2);
    hold off;
    
    xlabel('Time (weeks)');
    ylabel('Number of Individuals');
    title('HIV Model with Preferential Mixing');
    legend('S1', 'I1', 'S2', 'I2', 'Location', 'best');
    grid on;
end