波阵面上动量守恒的物理意义

封面图：【荷】伦勃朗 (1606–1669)，《约瑟的梦》，1645年，收藏于柏林Gemäldegalerie博物馆

本文首先给出压缩波和拉伸波的概念，在此基础上讨论波阵面上动量守恒的物理意义，引入波阻抗的概念。注意本文的讨论是针对纵波展开的，前置内容参考 应力波波阵面上的动量守恒条件

1. 压缩波和稀疏波的物理解释

波是一种扰动，即介质状态的改变。注：稀疏波也称压缩波。判断某个波是压缩还是拉伸，不是其压缩获拉伸状态决定的，而是由其改变趋势决定的，例如，将处于高度压缩状态的压缩波改变为低度压缩状态的压缩波，尽管改变前后均为压缩波，但是它为拉伸波；反之同理，可以定义压缩波。

参考文章 应力波波阵面上的动量守恒条件，可知冲击波和连续波的波阵面上动量守恒分别为：

$[\sigma ]=\pm {\rho }_{0}C[v](1\mathrm{a})$
$\mathrm{d}\sigma =\pm {\rho }_{0}C\mathrm{d}v(1\mathrm{b})$

式中正、负号分别表示左、右行波。拉格朗日波速 $C$分别为：
$C=\sqrt{\frac{[\sigma ]}{{\rho }_0[\epsilon ]}}(2\mathrm{a})$
$C=\sqrt{\frac{\mathrm{d}\sigma }{{\rho }_0\mathrm{d}\epsilon }}(2\mathrm{b})$

如果不采用这种统一写法，则按照动量守恒定律导出的原始表述（参考应力波波阵面上的动量守恒条件中的式(3)），式(1)可以写为：
$[\sigma ]=-{\rho }_0\frac{\mathrm{d}{X}_{\ast }}{\mathrm{d}t}[v](3\mathrm{a})$
$\mathrm{d}\sigma =-{\rho }_0\frac{\mathrm{d}{X}_{\ast }}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}v(3\mathrm{b})$

可见：
（1）压缩波（$[\sigma ]<0,\mathrm{d}\sigma <0$）情形，质点速度$[v]$ （和 $\mathrm{d}v$）与拉格朗日波速必定同号；

（2）反之，稀疏波（$[\sigma ]>0,\mathrm{d}\sigma >0$）情形，质点速度$[v]$ （和 $\mathrm{d}v$）与拉格朗日波速必定异号。这意味着无论是左、右行波，压缩波必然引起波传播方向上质点速度增加，而稀疏波必然引起波传播方向上质点速度减小。

2. 波阻抗及其物理意义

冲击波和连续波的拉格朗日波速的绝对值$|C|$可按照式(3)，分别写为：
ρ 0 ∣ C ∣ = ∣ [ σ ] [ v ] ∣ ( 4 a ) \rho_0 |C| = \left|\frac{[\sigma]}{[v]} \right| \quad \quad (4{\rm a}) ρ0​∣C∣= ​[v][σ]​ ​(4a)
ρ 0 ∣ C ∣ = ∣ d σ d v ∣ ( 4 b ) \rho_0 |C| = \left|\frac{{\rm d}\sigma}{{\rm d}v} \right| \quad \quad (4{\rm b}) ρ0​∣C∣= ​dvdσ​ ​(4b)

在弹性波理论中将 $\rho C$ 称为波阻抗（wave impedance）。波阻抗的物理意义是：为了使介质产生质点速度而施加的应力，是介质在波动过程中的软、硬的一种反映。波阻抗越大，则介质对波动扰动抵抗力越强；反之。注意这里的软、硬仅指介质对波动效果的反应。

参考资料

• 应力波波阵面上的动量守恒条件
• Achenbach, J., 1973. Wave propagation in elastic solids.
• North-Holland Publishing Company.
• 李永池, 2018. 波动力学（第二版）. 中国科学技术大学出版社.
• 王礼立. 2023. 应力波基础（第三版）. 国防工业出版社.