Burgers 方程

先上总结：

• Burgers 方程 = “非线性对流 + 粘性扩散” 的炼金石：既保留 真实流体非线性，又 可解析求解。
• 借助 Cole–Hopf 变换，可将它视为一个“可完全积分”的经典例子，非常适合作为学习更复杂流体方程之前的“热身”。

Burgers 方程是什么？

首先是来自 Wiki 的介绍，Burgers’ equation

伯格斯方程是一个基本的偏微分方程和对流-扩散方程，出现在应用数学的各个领域，如流体力学、 非线性声学、 气体动力学和交通流。

Burgers’ 方程看似简单，却涵盖了 流体力学 里“非线性对流”（advection）与“粘性扩散”（viscosity）两大核心过程的相互作用，因此常被当做“简化版的 Navier–Stokes 方程”来研究。

一维 Burgers 方程形式和意义

1. 带粘性 Burgers 方程 形式为：
   $$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=\nu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$

   • 非线性对流项 $u{u}_x$：速度场 $u(x,t)$ 自己把自身向前“推”——速度高的部分会赶超下游速度低的部分，容易造成梯度增大，最终形成“冲击”或“梯度爆破”（shock）。
   • 粘性扩散项 $\nu u_{xx}$：起到 平滑作用，把陡峭的梯度“抹平”，防止真正的阶跃不连续出现。

2. 当 $\nu =0$ 时，方程退化为 无粘性 Burgers 方程，等同于一个标量的无粘性守恒律：
   $$u_t+(\frac{1}{2}{u}^2{)}_x=0,$$
   这正是 最简单的“超声速气流”、“交通流”等模型的原型，会出现真正的“冲击波”（shock）和“稀疏波”（rarefaction）。

   
   右半图展示的正是 无粘性 Burgers 方程的特征线（characteristics）——每条竖直或倾斜的蓝线都代表 从某个初始点 $x_0$ 出发，以速度 $u(0,x_0)$ “平直”前进的轨迹。

   • 当特征线互不相交（如最左边的几条几乎竖直的线段）时，解是光滑的。
   • 交叉点＝冲击产生： 一旦两条或多条特征线在某个时刻 $t$ 相交，就意味着按 “保持自身速度不变” 这个单纯平移的规则，会出现多值解——在物理上把它看作“冲击波”形成的前兆。

   有粘 vs. 无粘：有粘性时形成平滑的“冲击层”，无粘性时则用不连续跳跃建模冲击。

   • 在有粘性的情形下，这些本来要交叉的特征会在交叉处产生一个厚度为 $O(\nu )$ 的“冲击层”， 把多值区替换成跨越跳跃；
   • 而在严格无粘时，则需要引入一个数学上的跳跃（entropy‐satisfying shock）来保持解的唯一性和物理可接受性。

3. 具有狄利克雷边界条件和外部力 $\mathbf{w}(t,x)$ 的 1D Burgers 方程，
   $$\{\begin{array}{ll}\frac{\partial u}{\partial t}=-u\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\nu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+w(t,x)& \text{in}[0,T]\times \Omega \\ u(t,x)=0& \text{in}[0,T]\times \partial \Omega \\ u(0,x)=u_0(x)& \text{in}\{t=0\}\times \Omega \end{array}$$
   $\nu$ 是粘性参数， $u_0(\mathbf{x})$ 是初始条件。

在一维 Burgers 方程中，符号 $x$ 就是“空间坐标”或者说“位置变量”。具体来说：

• 空间域 $\Omega$ 通常是 $x$ 所在的区间，比如 $[0,L]$ 或 $[-1,1]$。
• $\partial \Omega$：区间的端点，狄利克雷边界条件在这些点上强行规定 $u=0$。
• 当写 $u(t,x)$ 时，意思是 “在时刻 $t$ 、位置 $x$ 处的速度（或浓度、位移等物理量） ”。
• 对应的边界条件 $u(t,x)=0$ （狄利克雷边界）就是在区间端点 $x=\partial \Omega$ 上速度被钳制为零。
• 积分 ${\int }_{\Omega }$ 和 ${\int }_{[0,T]\times \Omega }$：分别代表对位置 $x$ 和对时空 $(t,x)$ 的累积。

因此，在控制问题中：

• 控制场 $w(t,x)$ 描述的是在时刻 $t$ 、位置 $x$ 施加的外部力大小——它是一个在 时空 $[0,T]\times \Omega$ 上分布的函数。

这样就可以清楚地看到，所有关于 $x$ 的出现，都是在描述“这条一维管道上不同位置”的物理量如何随时间演化，以及如何被外部力 $w(t,x)$ 所控制。

直观画面：对流 vs. 粘性

1. 只有对流（$\nu =0$）

   • 高速区域向低速推，梯度不断增强——最终出现真正的不连续（“冲击”）。
   • 类似挤压淤泥：越往前越堆越高、形成断崖。

2. 只有扩散（$u{u}_x=0$）

   • 平方一项无效，剩余热方程——初始波形逐渐“挤扁”、变平滑。

3. 两者并存（$\nu >0$）

   • 初期非线性对流让波形向前压去，出现陡峭的前缘；
   • 粘性扩散在此刻发挥平滑作用，防止断崖，但仍保留“陡峭”特征。
   • 稳态下常常呈现“平缓向前 + 陡峭向后”的波前结构。

Burgers’ equation Code and figures
无粘性 Burgers 方程下，用特征线方法（method of characteristics）把初始速度剖面推进到时间 $t=7.75$，

• 虚线是 $t=0$ 的初始速度分布 $u(0,x)$，实线是在 $t=7.75$ 时刻，Burgers 方程的解 $u(7.75,x)$。看到整个波形向右平移、并且在右侧越压越“陡峭”，形成了接近垂直的跳跃——这就是“冲击前奏”（pre-shock）。
• 每一条箭头都从初始曲线上的某一点 $(x_0,u(0,x_0))$ 出发，指向它在 $t=7.75$ 时刻所到达的位置 $(x_0+u(0,x_0)t,u(0,x_0))$。这正是 无粘性 Burgers 方程的特征线：速度值本身 $u$ 就是特征速度，沿着这条特征 $u$ 保持不变、只发生平移。
• 如果沿箭头一直画下去，会发现多条特征在某一点汇聚、交叉，代表无粘性 Burgers 会在该处产生一个“真正”的冲击（数学意义上的不连续跳跃）。
  注意，最初对每个 $x$ 都是单值的。一段时间后，波峰会超过前沿。从那时起，对于某些 $x$ 的值，得到一个三值解。这种超过发生的时间被称为破碎时间——这是指海浪拍打沙滩。它也是微分形式的守恒定律失效，以及特征线首次交叉的点。当特征线交叉时，会形成冲击波或不连续性。从数学上讲，用不连续性替换三值区域可以避免解的多值问题。冲击波应该位于哪里？
  
• 如果用冲击波替换部分多值解区间，一些质量将被移除（区域 A1），而一些质量将被添加（区域 A2）。为了保持积分守恒，冲击波必须放置在这些两个面积相等的位置。
• 如果加入粘性项 $\nu u_{xx}$，那垂直折返会被“平滑”成一个陡峭但连续的过渡层（shock layer）。

为什么 Burgers 方程重要？

Cole–Hopf 变换：从线性回到非线性

Burgers 方程的一个“魔法”是，它可以通过 Cole–Hopf 变换

$$u=-2\nu \frac{{\phi }_x}{\phi }$$

将原方程化为热方程

$${\phi }_t=\nu {\phi }_{xx}.$$

• 热方程 是 线性的、良好研究的方程，可以 用经典的 Green 函数（高斯核）给出解析解。
• 解出 $\phi$ 后，再反变换即可得到 $u$。

尽管 Burgers 方程 看似非线性，借助恰当的变量替换，实际上它是“可完全积分”（integrable）的——在数学上地位比一般 Navier–Stokes 要简单得多。

兼具“可解析性”与“非线性特征”，是物理与数值分析双料“试金石”。

领域	Burgers 方程 的角色
湍流模型	在低维度和可控条件下，测试数值算法，验证湍流统计学理论；研究“能谱转移”（energy cascade）。
交通流	将汽车密度或车速看作标量守恒量，无粘性版本直接给出冲击波（交通拥堵波）的形成机制。
气体动力学	可近似描述一维无压力的气体运动；冲击与膨胀波。
非线性声学	描述高振幅声波的非线性变形与耗散平衡；产生“陡峭波前”但不会形成数学奇异。

如何“通透”地学？

1. 做数值实验

   • 从平滑初始条件（如正弦波、Gaussian 峰）出发，分别在 $\nu =0$ 和不同 $\nu >0$ 下演示解的演化。直观感受对流与扩散的竞争。

2. 尝试 Cole–Hopf

   • 手写推导，体会为何非线性项“消失”，深入理解可积（integrable）系统的魅力。

3. 次级课题

   • 对比 1D Burgers 与 1D 无粘性 Euler/Navier–Stokes，思考“标量守恒律”与“向量场方程”在多维下的差异。
   • 研究 Burgers 方程在随机初值或随机强迫（stochastic forcing）下的行为，拓展到“随机偏微分方程”领域。